## versión On-line ISSN 0719-0646

### Cubo vol.13 no.1 Temuco  2011

#### http://dx.doi.org/10.4067/S0719-06462011000100007

CUBO A Mathematical Journal Vol.13, N° 01, (103-123). March 2011

CONTENTS

Engineering Design under Imprecise Probabilities: Computational Complexity

Department of Computer Science, University of Texas at El Paso, 500 W. University, El Paso, Texas 79968, USA. email: vladik@utep.edu

ABSTRACT

In engineering design problems, we want to make sure that a certain quantity c of the designed system lies within given bounds - or at least that the probability of this quantity to be outside these bounds does not exceed a given threshold. We may have several such requirements - thus the requirement can be formulated as bounds [Fc(x), Fc(x)] on the cumulative distribution function Fc(x) of the quantity c; such bounds are known as a p-box.

The value of the desired quantity c depends on the design parameters a and the parameters b characterizing the environment: c = f(a, b). To achieve the design goal, we need to find the design parameters a for which the distribution Fc(x) for c = f(a, b) is within the given bounds for all possible values of the environmental variables b. The problem of computing such a is called backcalculation. For b, we also have ranges with different probabilities - i.e., also a p-box. Thus, we have backcalculation problem for p-boxes.

For p-boxes, there exist efficient algorithms for finding a design a that satisfies the given constraints. The next natural question is to find a design that satisfies additional general, the problem of finding such a design is computationally difficult (NP-hard).

We show that this problem is NP-hard already in the simplest possible linearized case, when the dependence c = f(a, b) is linear. We also provide an example when an efficient algorithm is possible.

Keywords: Engineering design, imprecise probability, computational complexity, p-boxes, NP-hard

RESUMEN

En los problemas de diseño de ingeniería, en los que quiere asegurarse de que una determinada cantidad c del sistema se encuentra dentro de los límites dados - o por lo menos que la probabilidad de esa cantidad fuera de estos límites no superen un determinado umbral. Es posible que haya varios requisitos - la exigencia puede formularse como límites [Fc(x), Fc(x)] en la función de distribución acumulada Fc(x) de la cantidad de c, esos límites son conocidos como p-caja.

El valor de la cantidad deseada c depende de los parámetros de diseño a y los parámetros b caracterizar el medio ambiente: c = f(a, b). Para lograr el objetivo de diseño, tenemos que encontrar los parámetros de diseño a para que la distribución de Fc(x) para c = f(a, b) esé dentro de los límites dados por todos los valores posibles de las variables ambientales b. El problema de la informática se llama a retrocálculo. Por b, también tienen rangos con diferentes probabilidades, es decir, también una p-box. Por lo tanto, tenemos un problema de retrocálculo para p-cajas.

Para p-cajas, existen algoritmos eficientes para encontrar un diseño a que satisface las restricciones dadas. La pregunta lógica es encontrar un diseño que satisfaga restricciones adicionales: el coste, la eficiencia, etc. En este trabajo, demostramos, en general, el problema de encontrar un diseño que es computacionalmente difícil (NPhard). Se demuestra que este problema es NP-hard ya en el caso lineal más simple posible, cuando la dependencia c = f(a, b) es lineal. También ofrecemos un ejemplo, cuando un algoritmo eficiente es posible.

AMS Subject Classification: 65K10, 65J99, 49M15, 49J53, 47J20, 47H04, 90C30, 90C33.

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Revised: November 2009.

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