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## versión On-line ISSN 0718-5006

### Form. Univ. vol.13 no.6 La Serena dic. 2020

#### http://dx.doi.org/10.4067/S0718-50062020000600105

ARTICULOS

Modelado matemático de caja blanca y negra en educación en ingeniería

Mathematical modeling of white and black box in engineering education

1 Universidad Cooperativa de Colombia, Facultad de Ingeniería, Av. Caracas No. 37-15, Bogotá D.C. Colombia.(correo-e: juan.cardonag@campusucc.edu.co)

2 Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira, Facultad de Ingeniería y Administración, Kr. 32 No 12-00, Palmira, Valle del Cauca. (correo-e: jlealgom@unal.edu.co)

3 Universidad Cooperativa de Colombia, Facultad de Ingeniería, Av. Caracas No. 37-15, Bogotá D.C. Colombia. (correo-e: jose.ustariz@campusucc.edu.co)

Resumen:

Palabras clave: modelado matemático; simulación; caja negra y blanca; educación; ingeniería

Abstract:

This research study presents activities on mathematical modeling processes that were developed in engineering courses to improve student understanding of physical phenomena using real systems. The modeling methodology performed in the classroom followed the proposal by Kai Velten for engineers. The analysis of tank drainage with cross-section variables were presented in two different courses: 1) a differential equations course where students established a differential equation modeling drainage by using a white box model (mechanistic) based on physical principles, and 2) a physical variables measuring course in which students used a second order polynomial adjustment by least squares or a black box model (empirical). Given the current need in engineering for solving real problems, it is concluded that mathematical modeling techniques must be included in undergraduate courses, such that students start getting accustomed to analyzing problems from this perspective.

Keywords: mathematical modeling; simulation; black and white box; engineering education

INTRODUCCIÓN

Para Magana (2017), los profesionales de la ciencia y la ingeniería han enfatizado en la necesidad de un enfoque nuevo y moderno para educar y capacitar a la próxima generación de profesionales de la ingeniería para complementar de manera efectiva los enfoques experimentales y teóricos de los procesos de descubrimiento e innovación. A si mismo Feisel y Rosa (2005) afirman que el objetivo general de la educación en ingeniería es preparar a los estudiantes para practicar ingeniería y, en particular, para lidiar con las fuerzas y los materiales de la naturaleza, más aún Li (2013) considera que el modelado matemático en la educación es la interfaz educativa más importante entre las matemáticas y la industria”, de manera que es necesario realizar reformas en los planes de estudios de ingeniería de pregrado para producir ingenieros con habilidades que les permitan abordar los problemas del mundo real relevantes para la industria y la sociedad. El desarrollo de proyectos prácticos con asistencia tecnológica que implican experimentación, simulación de diseño y creación de prototipos transformarán a los graduados en profesionales con las habilidades necesarias para crear y avanzar en el conocimiento que cumpla con los estándares globales. (Venkateswarlu, 2017).

Magana (2017) presenta dos objetivos de las simulaciones en la educación en ingeniería: 1) usar simulaciones para identificar y describir los principios físicos fundamentales o comportamientos de dispositivos, materiales y otros artefactos; y 2) crear simulaciones para aplicar técnicas de modelado y computación para abordar las tareas de diseño de ingeniería. Por otra parte, Stadnicka et al. (2019) afirman que las simulaciones permiten presentar el mundo real con el uso de un modelo simplificado, que representa las acciones emprendidas en un proceso o los fenómenos que ocurren en el mismo. Los estudiantes, en muchos casos, no tienen posibilidad de observar cómo funciona un sistema real. Así que las simulaciones se pueden usar para analizar el comportamiento tales sistemas. Además, las empresas están interesadas en el desempeño de las simulaciones de procesos, para verificar las consecuencias de los cambios propuestos. También pueden contribuir significativamente con los resultados del aprendizaje, siempre que estén fuertemente relacionadas con los objetivos de los cursos de una manera clara y directa, de lo contrario serán una experiencia plana y poco interesante para estudiantes y profesores. Para Feisel y Rosa (2005) hoy en día, existen programas de software de simulación que emulan con precisión muchos procesos técnicos y físicos. Estos programas de software juegan un papel importante en la educación en ingeniería. De modo similar las tecnologías de simulación, permiten representar una realidad específica mediante un modelo lógico-matemático en el cual el estudiante puede interactuar con el modelo y explorar los efectos de sus decisiones en el funcionamiento del mismo. Ésta interacción consiste en cambiar parámetros de operación (lógicos o matemáticos) del modelo y analizar los resultados obtenidos luego de las modificaciones para entonces proponer alternativas de mejoramiento. Giraldo y Pinilla (2016).

La educación en ingeniería ha comenzado a reconocer la importancia de la formación de habilidades de modelado y simulación en las aulas, específicamente la Acreditation Board for Engineering and Technology,( ABET, 2017) en su informe “Criterios para la acreditación de programas de ingeniería”, identifica que los estudiantes de ingeniería deben desarrollar entre otras capacidades las siguientes: aplicar los conocimientos de matemáticas, ciencias e ingeniería, diseñar y realizar experimentos, analizar e interpretar datos, diseñar un sistema, componente o proceso para cumplir las necesidades deseadas dentro de limitaciones realistas, tales como economía, medio ambiente, social, política, ética, salud y seguridad, capacidad de fabricación y sostenibilidad, identificar, formular y resolver problemas de ingeniería, y utilizar las técnicas, habilidades y herramientas de ingeniería moderna necesarias para la práctica de la ingeniería.

Por otra parte en Colombia el Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2003) como responsable de la formulación de la política educativa en la formación de ingenieros plantea el desarrollo de aspectos curriculares que desarrollen la conceptualización, diseño, experimentación, formulación de modelos y desarrollos tecnológicos propios de cada especialidad en ingeniería, también algunas instituciones de educación superior como la Universidad Cooperativa de Colombia plantea en los programas de ingeniería como competencia: “modelar matemáticamente procesos a partir de la representación de los fenómenos naturales para resolver problemas relacionados con materiales, estructuras, máquinas, dispositivos y sistemas que en forma segura logren el objetivo esperado”.

En Frejd y Bergsten (2015) se muestra una investigación detallada en la que se presentan varias experiencias de modeladores profesionales en distintas áreas quienes emplean las técnicas de modelado matemático de caja blanca, caja gris o modelos híbridos y modelos de caja negra, allí se resaltan las ventajas y desventajas de cada uno de los métodos empleados. Éste tipo de modelos también se han utilizado en los trabajos de Zendehboudi, Nima y Ali (2018), Nugroho y Akmeliawati (2018), Wang et al. (2015), Casoli (2011) y Van Can (1998) entre otros. En general los autores modelaron, simularon y compararon los resultados de los diferentes tipos de modelos con datos reales para determinar cuál era el “mejor” modelo matemático que describía su sistema físico.

Frejd y Bergsten (2015) proponen una discusión para incorporar las técnicas de modelado matemática en la escuela utilizando la trasposición didáctica (Chevallard, 1991), por otra parte, Leal et al. (2015) propone que la educación en ingeniería debe estar fundamentada en el quehacer profesional de los ingenieros que consiste en el estudio de los sistemas físicos reales utilizando modelado matemático. Teniendo en cuenta los argumentos expuestos anteriormente, nos hemos propuesto promover en los estudiantes de ingeniería el planteamiento y la solución a problemas reales utilizando las técnicas de modelado matemático de caja blanca y caja negra.

En la Figura 1 se muestra el análisis bibliométrico de la base de datos SCOPUS, en el cual se encuentran 160 documentos que muestran la relación entre educación en ingeniería y modelos de caja negra y blanca, en donde se puede apreciar que la relación directa es escasa, lo que indica una desarticulación entre el proceso de formación de los ingenieros en modelado matemático y su desarrollo profesional.

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA EN MODELADO MATEMÁTICO

Con el objeto de contextualizar el trabajo sobre el modelado matemático en la formación de ingenieros, se presentan a continuación los términos básicos que sirven de base a la discusión teórica:

Sistema

Para Zeigler (2019), un sistema es una parte de la realidad entendida como una fuente potencial de datos. Por otra parte, Fritzson (2011), considera un sistema como un objeto o una colección de objetos cuyas propiedades queremos estudiar. La finalidad es analizarlo o construirlo. Además, un sistema se caracteriza por el hecho de que el modelador puede definir sus límites, sus atributos y sus interacciones con el entorno en la medida en que el modelo resultante puede satisfacer los objetivos del modelador. Nirmala (2002). Ciertamente, las variables de entrada y salida, parámetros y constantes son atributos que se deben reconocer al modelar matemáticamente un sistema. (Fritzson 2011; Nirmala 2002; Edwards y Hamson,1989)

Experimento

Cellier (1991) argumenta que un experimento es el proceso de extracción de datos de un sistema mediante la manipulación de sus variables de entrada. Para poder realizar un experimento sobre un sistema, éste debe de ser tanto controlable como observable. De tal forma que se aplica un conjunto de condiciones externas a las variables de entrada y se observan y miden sus variables de salida.

Modelo

Para Minsky (1965) A* es un modelo de un objeto A en la medida que un observador B puede usar A* para responder preguntas que le interesan sobre A. Según Shier (1999) un modelo se puede definir como una representación simplificada de ciertos aspectos de un sistema real, se crea con el objetivo de obtener nuevos conocimientos sobre el mundo real mediante la investigación de las propiedades y las implicaciones del modelo. De acuerdo con Cellier (1991) un modelo (M) de un sistema (S) y un experimento (E) es cualquier cosa a la que se pueda aplicar E para responder preguntas sobre S".

Modelo Matemático

Además, Velten (2009) definió un modelo matemático como una tripleta (S, Q, M) donde S es un sistema, Q es una pregunta relacionada con S y M es un conjunto de sentencias matemáticas M = {1, 2, ..., n} que se puede usar para contestar Q. De acuerdo con Preziosi y Bellomo (1994) un modelo matemático está conformado un conjunto de ecuaciones que se pueden usar para calcular la evolución espacio-temporal de un sistema físico. Para Cellier (1991) un modelo matemático es una subclase de modelos que se pueden codificar como programas de computador.

Simulación

De acuerdo con Cellier (1991) una simulación es un experimento realizado sobre un modelo, por otra parte, Fritzson (2011) afirma que, si el modelo matemático se representa en forma ejecutable en un computador, las simulaciones se pueden realizar mediante experimentos numéricos, o en casos no numéricos mediante experimentos computados. Esta es una forma simple y segura de efectuar experimentos, con la ventaja añadida de que esencialmente todas las variables del modelo son observables y controlables. Sin embargo, el valor de los resultados de simulación es completamente dependiente de que tan bien está formulado el modelo representa al sistema real con respecto a las cuestiones a las que la simulación tiene que responder. Excepto por la experimentación, la simulación es la única técnica que es aplicable de forma general para el análisis del comportamiento de sistemas.

Según (Zeigler 2019; Nirmala 2002) modelado significa el proceso de organización y aplicación del conocimiento para describir el desempeño de un sistema real para lograr ciertos objetivos. Para Shiflet (2002) el modelado es la aplicación de métodos para analizar complejos problemas del mundo real para hacer predicciones sobre qué podría suceder con varias acciones. De acuerdo con (Cellier 1991; Nirmala 2002) los modelos matemáticos van desde los modelos de "caja blanca" bien definidos y rigurosos hasta los modelos de "caja negra" mal definidos y empíricos. Un modelo matemático de caja blanca o mecanicista se basa en el enfoque deductivo o teórico. Aquí, las teorías y principios fundamentales que gobiernan el sistema junto con los supuestos simplificadores se utilizan para derivar relaciones matemáticas entre las variables que se saben o que se suponen son significativas. El modelo resultante se puede calibrar con datos históricos del sistema real y se puede validar con datos adicionales. Las predicciones se pueden hacer con confianza predefinida y se pueden utilizar para el diseño de sistemas, además reflejan cómo los cambios en el rendimiento del sistema se relacionan con los cambios en las entradas.

Por el contrario, un modelo matemático de caja negra o empírico se basa en un enfoque inductivo es decir en datos los cuales se utilizan para desarrollar relaciones entre variables que se consideran significativas en el sistema en estudio. Las herramientas estadísticas se utilizan a menudo en este proceso para garantizar la validez de las predicciones para el sistema real. El modelo resultante se considera una "caja negra", que refleja sólo los cambios que podrían esperarse en el rendimiento del sistema debido a cambios en las entradas. A pesar de que el valor de utilidad de este enfoque se limita a las predicciones, ha demostrado ser útil en el caso de sistemas complejos donde la ciencia subyacente no se comprende bien. Otros autores como Nugroho y Akmeliawati (2018) definen el tercer tipo de modelo denominado modelo de caja gris que requiere el uso de datos empíricos del sistema fusionados con la estructura del modelo basado en leyes físicas o geométricas para identificar los parámetros del modelo necesarios para estimar comportamientos específicos propios del funcionamiento del sistema.

Por otra parte, Velten (2009), propone una clasificación de los modelos matemáticos entre modelos de caja blanca y negra tal como se muestra en la Figura 2. En un extremo del espectro se ubican los sistemas psicológicos y sociales que constituyen los modelos de “caja negra" estos modelos se pueden usar para hacer predicciones más o menos confiables basadas en datos. Los sistemas mecánicos, los circuitos eléctricos, se ubican en el otro lado del espectro conformando los sistemas de caja blanca, ellos se entienden muy bien en términos de modelos mecanicistas, En el extremo de la caja blanca del espectro, se pueden aplicar modelos matemáticos para diseñar, probar y optimizar sistemas y procesos en la computadora antes de que se realicen físicamente. Los modelos de caja blanca están fundamentados en leyes físicas. Se debe tener en cuenta que las tres dimensiones de un modelo matemático (S, Q, M) se pueden ver en la Figura 2: los sistemas (S) se clasifican en la parte superior de la barra, justo debajo de la barra hay una lista de objetivos que los modelos matemáticos en cada uno de los segmentos pueden tener (que es Q), y en el extremo inferior hay las correspondientes estructuras matemáticas (M) que van desde las estructuras de ecuaciones algebraicas (AE) hasta las estructuras de las ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales (DE).

MODELOS MATEMÁTICOS DE CAJA BLANCA

A continuación, se describen cada una de las etapas de modelado matemático de caja blanca consideradas por Velten (2009), y se presentan una serie de tareas y aclaraciones sobre cada una de ellas propuestas por los autores para la implementación en el aula.

Definiciones

En esta etapa el futuro ingeniero debe caracterizar el sistema a estudiar, esto implica: identificarlo, definirlo apropiadamente, reconocer sus límites, describir su funcionamiento, determinar el/los materiales con el cual está construido, tener claridad sobre su dimensionamiento geométrico. Además, debe generar la pregunta que va a responder del sistema por medio del modelado matemático. A menudo, se crea un modelo esquemático, gráfico o pictográfico del sistema (2D o 3D) para visualizarlo apropiadamente. Al finalizar esta etapa el estudiante de ingeniería debe tener claridad sobre el funcionamiento del sistema.

Análisis del sistema

El estudiante de ingeniería debe identificar las partes del sistema que son relevantes para responder la pregunta (Q) del modelado matemático, para ello debe: definir las variables de entrada y salida, constantes y parámetros del sistema, definir de forma apropiada el sistema de unidades (Internacional o inglés) que va a utilizar en el desarrollo del modelo matemático, reconocer el tipo de relación matemática (directa o inversa) entre las variables principales definidas del modelo. Otra parte muy útil e importante es preparar una lista de todas las variables junto con sus dimensiones fundamentales (masa M, longitud L y tiempo T), esto puede ayudar a verificar la consistencia entre las variables y las ecuaciones, la resolución de problemas y determinar los resultados. Cada problema implica una serie de diferentes "factores" que pueden influir en la solución. En la primera etapa de la construcción de modelos, necesitamos una lista de estos factores.

El estudiante de ingeniería identifica teorías, leyes y principios fundamentales que rigen el comportamiento del sistema y que son aplicables al mismo y además pueden ayudar a conseguir el objetivo de modelado matemático. Por ejemplo, leyes de Newton, conservación de energía, leyes de Kirchoff, entre otras. A partir de allí se deben derivar relaciones entre las variables de importancia y relevancia del sistema, de esta forma se transforma esencialmente el sistema real en una representación matemática que se debe analizar a la luz de las técnicas matemáticas existentes. Dicho proceso se conoce como matematización, Según Alma y García (2011), matematizar el mundo real, implica que el estudiante debe: interpretar datos, establecer relaciones y conexiones; poner en juego conceptos; analizar regularidades; establecer patrones de cambio; encontrar, elaborar, diseñar y/o construir modelos. En esta etapa además se debe revisar que el modelo matemático es dimensionalmente correcto, verificando la igualdad dimensional en el mismo.

Simulación

Aquí el estudiante de ingeniería aplica el modelo matemático al sistema en estudio, de tal forma que es necesario la utilización de técnicas y procedimientos matemáticos estándar para "resolver" el modelo y obtener los resultados deseados, en esta etapa se puede utilizar simulación numérica por computador mediante software especializado para generar datos sobre el sistema en estudio. La conveniencia de la representación matemática es que el modelo resultante puede analizarse solo, sin tener en cuenta el sistema real, temporalmente. El análisis se realiza de acuerdo con las reglas de las matemáticas, y el sistema no tiene nada que ver con ese proceso. El tipo de análisis que se utilizará será dictado por las relaciones derivadas en el paso anterior. Las técnicas analíticas generalizadas pueden caer en categorías algebraicas, diferenciales o numéricas.

Validación

MODELOS MATEMÁTICOS DE CAJA NEGRA

Se pueden utilizar en una gran diversidad de fenómenos naturales y sociales, sin necesidad de conocer las relaciones entre los diferentes componentes de un sistema, de tal forma que si alguna parte de éste tiene cambios significativos no es posible determinar con precisión cuales fueron esas variaciones, el análisis es una relación de causa- efecto de variables matemáticas de entrada y salida. Los datos se analizan utilizando técnicas estadísticas y ajustes de curvas.

Es una metodología mediante la cual se generan modelos matemáticos para tratar de predecir el comportamiento de un sistema real. Dependiendo del tipo de modelo matemático que se formule, se requieren tipos de análisis particular. La metodología de modelado utilizando modelos matemáticos de caja blanca y negra tienen los siguientes aspectos coincidentes: Permiten obtener soluciones aproximadas para hacer predicciones sobre el funcionamiento de los sistemas, se utilizan técnicas estadísticas para la validación de los resultados y es necesario utilizar software. En los modelos de caja negra no es necesario conocer cómo funciona exactamente un sistema, a diferencia de los modelos de caja blanca, en los cuales es fundamental la comprensión de las leyes o principios físicos que rigen el comportamiento y la estructuración del mismo. Otra diferencia esencial, es el conocimiento matemático que se requiere para resolver cada tipo de modelo, puesto que en los modelos de caja blanca resultan ecuaciones mucho más complejas que en los modelos de caja negra.

Implementación de la metodología de modelado matemático

Para cumplir el objetivo propuesto en el que los estudiantes utilicen procesos de modelado matemático para la comprensión de fenómenos físicos utilizando sistemas reales, se propuso un problema transversal que permitiera utilizar los dos tipos de modelos en cada curso y de acuerdo con su nivel de formación (caja negra y blanca), y se trataba de determinar el tiempo de vaciado de un tanque de sección transversal variable. El problema se propuso en dos cursos distintos cada uno con treinta estudiantes de ingeniería de la Universidad Cooperativa de Colombia. Uno de ellos es el curso de medición de variables físicas, introductorio en el segundo semestre en el cual los estudiantes están apenas incursionando tanto en el manejo de herramientas matemáticas como en el uso de herramientas tecnológicas, quienes utilizaron el modelo de caja negra. El otro es un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias, en el cual los estudiantes tienen fundamentos de matemáticas y física, han manejado distintas herramientas de software y de antemano han trabajado el software Matlab y su entorno gráfico Simulink, a éste grupo se le propuso utilizar un modelo de caja blanca.

Al curso de medición de variables físicas, se le planteó que hicieran el experimento y utilizando el software TRACKER adquirieran datos para luego ajustarlos a un polinomio por mínimos cuadrados, y luego determinaran con éste modelo el tiempo de vaciado del tanque, posteriormente hicieron la comparación porcentual con el valor teórico para validar el modelo. Por otra parte, los estudiantes del curso de ecuaciones diferenciales formularon un modelo matemático de caja blanca del sistema, definieron las variables de entrada y salida, establecieron relaciones entre tales variables utilizando ecuaciones diferenciales y basados en leyes físicas, luego solucionaron el modelo utilizando las técnicas empleadas para tal fin y finalmente validaron el modelo con los datos experimentales obtenidos mediante el software TRACKER.

A continuación, se presentan los resultados obtenidos por los estudiantes en el desarrollo de los dos tipos de modelos matemáticos.

Análisis de un modelo matemático de caja blanca.

En esta sección se presentan los resultados obtenidos por los estudiantes en cada una de las fases de modelado matemático en ingeniería.

Definición del Sistema.

El sistema que va ser modelado matemáticamente lo conforma un tanque de sección transversal rectangular variable, el cual inicialmente contiene agua a una altura de 12 cm. El agua es drenada por un agujero circular de 1 cm de diámetro que se encuentra ubicado en la base del tanque, las dimensiones del mismo se muestran en la Figura 3a. El material del tanque es acrílico transparente el cual permite la toma de datos experimentales, el sistema físico se muestra en la Figura 3b. El objetivo del modelado matemático es generar un modelo por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias que permita determinar el nivel del agua para un tiempo determinado y que responda a la siguiente pregunta: ¿Cuál es el tiempo de drenado del tanque?

Análisis del sistema.

En el modelo matemático del drenado del tanque los estudiantes reconocen los factores (Variables, constantes, parámetros) que intervienen en el mismo, al igual que el símbolo algebraico de cada uno de ellos y las unidades de medida utilizadas en el modelo matemático, dicha información se consigna en un formato como el que se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1: Variables, parámetros y constantes del modelo matemático.

Adicionalmente es necesario realizar suposiciones de cómo es la relación entre las variables de entrada y salida del sistema, conociendo el funcionamiento del mismo, para este caso la relación entre el tiempo de drenado y la altura del agua en el tanque es Inversa.

Principios físicos de modelado

A continuación, se muestran los resultados del grupo de estudiantes de ecuaciones diferenciales con respecto a los principios físicos de funcionamiento del sistema y matematización de los mismos.

Conservación de la Energía (Principio de Bernoulli)

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que, en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática (P), la energía cinética por unidad de volumen ( ρ v 2 ), y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen (ρgh) es constante a lo largo de todo el recorrido del fluido, como se puede apreciar en la Ecuación 1.

(1)

Dónde: v = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravedad h = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido. Los subíndices 1 y 2 son puntos diferentes en el fluido.

Principio de Torricelli

El principio de Torricelli afirma que la velocidad del líquido que sale por el orificio en la pared de un tanque o recipiente, es idéntica a la que adquiere un objeto que se deja caer libremente desde una altura igual a la de la superficie libre del líquido hasta el orificio, supone que las pérdidas por viscosidad son despreciables, al igual que en la caída libre se supone que la fricción debida al aire que circunda al objeto que cae es insignificante. La suposición anterior es razonable en la mayoría de los casos y además implica la conservación de la energía mecánica del sistema E m , de donde Em1=Em2, en donde Ec es la energía cinética del sistema y Ep es la energía potencial del sistema, los subíndices 1 y 2 son puntos diferentes en el fluido, ver la Ecuación 2:

(2)

Reemplazando los correspondientes valores de energías cinética y potencial, se obtiene la Ecuación 3:

(3)

Y finalmente, al despejar la velocidad v se obtiene la Ecuación 4:

(4)

Permanencia de Caudal

Para determinar el caudal de fluido que permanece en el tanque Qp se realiza la resta del fluido que entra QE y el que sale del mismo QS, así Qp=QE-QS En donde: Q p = dV/dt, donde V es el volumen de agua del tanque, y QE=0 y Qs=va, donde v se obtuvo en la Ecuación 4 y al reemplazarlo se obtiene la Ecuación 5:

(5)

Finalmente, después de despejar el diferencial de volumen dV=A(y)dy, y reemplazarlo en la Ecuación 5, se obtiene la Ecuación 6, en donde A(y) representa el área de la sección transversal a una altura y:

(6)

Modelo matemático

La Ecuación 6 corresponde con el modelo matemático general para el drenado de tanques, en éste caso se considera que el área de la sección transversal del drenado es π/4 cm2 y el valor de la constante 2 g=44,27. Para el cálculo del área variable del tanque A(y) en la Figura 3a se observa que las secciones transversales del tanque son rectángulos de ancho variable x, que se hallan utilizando la ecuación de la línea recta que une los puntos A y B de la Figura 4, de esta forma se obtiene la Ecuación 7. Con el área variable de los rectángulos A(y) obtenidos a partir de la Ecuación 7 se obtiene la Ecuación 8.

(7)

(8)

Remplazando los valores anteriores en la Ecuación 6 se obtiene el modelo matemático para el drenado del tanque el cual se rige por la Ecuación 9.

(9)

La Ecuación 9 es una ecuación diferencial de primer orden no lineal de variables separables, la técnica para resolverla se estudió en la primera parte del curso de ecuaciones diferenciales y su solución general está dada por la Ecuación 10.

(10)

Para obtener la solución particular de la Ecuación 10 es necesario que los estudiantes planteen la condición inicial teniendo en cuenta el sistema real en estudio, en este caso el tanque inicia el proceso de drenado con una altura del agua de 12 cm, por lo que y(0) =12. Considerando esta condición inicial los estudiantes obtienen el valor de la constante C y de esta forma hallan un modelo matemático que relaciona las variables de entrada y salida del sistema en estudio, la altura del agua en el tanque (y) y el tiempo (t) según se define en la Ecuación 11.

(11)

A partir de la Ecuación 11 se obtiene el tiempo de drenado del tanque, cuando la altura del agua es y=0, simplemente reemplazando en la ecuación para obtener la Ecuación 12.

(12)

De donde se obtiene finalmente el valor t = 67.74 s, que corresponde con el tiempo total para el drenado del tanque.

Simulación

Para obtener más información del modelo matemático los estudiantes realizaron la simulación del modelo en SIMULINK de MATLAB. El comportamiento gráfico de dicha simulación relaciona la variable de entrada y salida del modelo y el resultado se muestra en la Figura 5. Es posible obtener por medio del software MATLAB la información numérica del comportamiento del drenado del tanque en este caso se obtuvieron un total 50 puntos, algunos de ellos se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2: Datos obtenidos de la simulación.

Validación

Para validar el modelo matemático los estudiantes obtuvieron datos experimentales del comportamiento del sistema utilizando el software TRACKER, en la Tabla 3 se muestran los datos experimentales y los datos obtenidos con el modelo matemático de las variables de entrada (altura del agua) y la variable de salida (tiempo de drenado) del sistema en estudio, al igual que la diferencia porcentual de los mismos, la cual es de 3,18% lo que indica que el modelo matemático propuesto es capaz de predecir dentro de unos límites razonables el comportamiento del sistema real. La gráfica de la información de la Tabla 3 se comparan con los resultados de la simulación en la Figura 6.

Tabla 3: Diferencias porcentuales entre los datos del modelo matemático de caja blanca (MATLAB) y experimentales (TRACKER)

Análisis de un modelo matemático de caja negra.

En el desarrollo del modelo matemático de caja negra los estudiantes del curso de técnicas de variables de medición utilizaron un ajuste polinómico de segundo orden mediante el método de mínimos cuadrados. Los datos correspondientes al comportamiento del sistema se obtuvieron mediante el software TRACKER, de esta forma, el modelo matemático obtenido es: y=0,002t2-0,3234t+12,308, cuyo coeficiente de ajuste R2 es del 0, 9988.Para obtener el tiempo de drenado del tanque se resuelve la ecuación de segundo orden cuando la atura del agua es y=0, así el tiempo de drenado del tanque es igual a 61,15 s.

En la Tabla 4 se muestran los resultados del tiempo de drenado del modelo matemático de caja blanca, de caja negra y los del sistema (experimentales), así como la diferencia porcentual entre ellos.

Tabla 4: Resultados del tiempo de drenado obtenidos experimentalmente y por modelos matemáticos.

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN

Este tipo de actividades permite que los estudiantes comprendan: el uso de las matemáticas como herramienta fundamental en el estudio de los fenómenos reales de ingeniería, las relaciones entre las variables, la formulación de modelos matemáticos, la importancia en el manejo del software para simular un fenómeno físico o para resolver un modelo matemático, entre otras. Los resultados del modelado matemático que realizaron los estudiantes permite evidenciar avances significativos en su proceso de formación y en el desarrollo de habilidades a la hora de utilizar las herramientas matemáticas, en éste caso cada grupo tiene una idea muy aproximada que les permite formular modelos de caja blanca y negra (según les corresponda), pues no sólo se estudiaron ejercicios de los libros, si no que en el proceso de modelado matemático fue necesario que analizarán el sistema, conocieran su comportamiento, determinaran distintas formas de abordarlo, y que se enfrentaran con las dificultades propias de un sistema real que dista de lo que ocurre en la teoría. En la etapa de validación, comprendieron la forma en que, como seres humanos nos aproximamos cada vez más al estudio detallado de los sistemas reales.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

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Recibido: 10 de Marzo de 2020; Aprobado: 12 de Mayo de 2020

* Autor a quien debe ser enviada la correspondencia. correo-e: juan.cardonag@campusucc.edu.co

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