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## On-line version ISSN 0718-2813

### Obras y Proyectos  no.22 Concepción Dec. 2017

#### http://dx.doi.org/10.4067/S0718-28132017000200061

Artículo

Evaluación probabilística de licuación en arenas de la ciudad de Piura en Perú

Probabilistic evaluation of sands liquefaction in Piura city in Peru

1Instituto Geofísico, Pontificia Universidad Javeriana, Carrera 7 No. 42 – 27, piso 7, Edificio Lorenzo Uribe, Bogotá, Colombia, denisse_campos@javeriana.edu.co, a-ramos@javeriana.edu.co

2Departamento de Ingeniería Civil, Pontificia Universidad Javeriana, Carrera 7 No. 40 – 62, Edificio 42, Bogotá, Colombia, lf.pradas@javeriana.edu.co

RESUMEN

Palabras clave: probabilidad de licuación; series de Taylor; simulaciones de Monte Carlo

ABSTRACT

A method to estimate liquefaction is the one proposed by Seed et al. (1985). This method depends on the cyclic resistance ratio CRR and the cyclic shear stress ratio CSR to calculate the safety margin. Frequently, this measure of safety is assumed deterministic and it is not contemplated the uncertainty of the seismic loads and soils resistance properties. When the probabilistic approach is implemented, often, probability density distribution functions for CRR, CSR and coefficients of variation of the soils properties are assumed by some authors. This paper presents a procedure applied to the city of Piura in Peru that includes the uncertainty of all random variables for liquefaction calculations. The information obtained from the area of study provides sufficient data to develop a complete analysis of uncertainty. In order to perform the probabilistic analysis, it was used the FORM and Monte Carlo methods. The maximum liquefaction probability is 9.5% and the random variables with more influence in the result for high uncertainty and functional form in the safety margin are N of the SPT and ground water level.

Keywords: liquefaction probability; Taylor's series; Monte Carlo simulations

Introducción

Determinación del potencial de licuación

El cálculo del potencial de licuación se realiza utilizando la metodología de Seed et al. (1985) y se define el margen de seguridad MS con:

MS=CRRCSR (1)

donde CRR es la relación de resistencia cíclica que presenta el suelo y CSR es la relación de esfuerzos cíclicos impuestos por un sismo. La evaluación consiste en analizar las relaciones de esfuerzos cíclicos que resisten los suelos donde se supone ocurrirá el sismo y se comparan con la relación de esfuerzos cíclicos que generan los sismos. La relación CSR se define como el esfuerzo cortante máximo generado por el sismo entre el esfuerzo efectivo vertical de una columna de suelo.

CSR=τσv,=0.65σvσv,amaxgrdMSF (2)

donde σv es el esfuerzo vertical total del suelo y σv’, es el esfuerzo vertical efectivo del suelo, amax es la aceleración horizontal máxima en la superficie del terreno generada por un sismo, g es la aceleración de la gravedad y rd = 1 – 0.01z es un factor de corrección de esfuerzo por profundidad, el cual decrece de 1 hasta 0.9 para 10 m de profundidad (Seed e Idriss, 1971), donde z es la profundidad de análisis en metros. Youd et al. (2001) recomienda que el factor de escala MSF se calcule en función de la magnitud del sismo M como:

MSF=102.24M2.56 (3)

La relación CRR expresa la capacidad del suelo para resistir licuación. Esta relación está en función del número de golpes N del SPT y para valores de N menores a 30 golpes/pie, satisface:

CRR=134N160cs+N160cs135+50[10N160cs+45]21200 (4)

El grado de drenaje durante la ejecución del ensayo de penetración SPT, disminuye con el incremento del contenido de finos, por lo que el N medido subestima la resistencia a la licuación en arenas limosas. Para compensar este efecto se recomienda aumentar el N del SPT a medida que aumenta el contenido de finos del suelo granular, es decir, el valor de N1 60cs considera un factor de corrección por contenido de finos dado por:

N1 60cs=e(1.76190FC2)+(0.99+FC21000)N160 (5)

donde FC es el contenido de finos y N1 60= NCNCECRCSCB corresponde al número de golpes/pie normalizado a una presión de confinamiento de 100 kPa aproximadamente y una energía de martillo de 60%, donde CECRCSCB son los factores de corrección por energía del martillo, longitud de varillaje, método de muestreo y diámetro de la perforación, los cuales se consideran constantes (Youd et al., 2001). CN = (pa/σ’v)0.5 es el factor de corrección por presión de confinamiento en suelos granulares (Liao y Whitman, 1986). Al incluir todas las variables aleatorias en (1) se obtiene la expresión que corresponde al margen de seguridad en función de todas las variables aleatorias.

MS=134N160cs+N160cs135+50[10N160cs+45]212000.65ρzρz–ρwzwamaxgrdMSF (6)

Caracterización de la incertidumbre de las variables aleatorias del Margen de Seguridad de licuación MS

MS tiene 6 variables aleatorias cuya incertidumbre debe ser caracterizada por medio de sus momentos estadísticos y de sus funciones de densidad de probabilidad. Cada variable se ajustó a funciones de densidad de probabilidad utilizando la prueba Kolmogorov - Smirnov, considerando un nivel de confiabilidad de 95%.

En las áreas costeras, por estar más cerca de la zona de Benioff, los focos suelen ser superficiales y conforme se avanza hacia el continente pasan a ser intermedios y profundos. Los epicentros de los temblores ocurridos en la costa piurana en las últimas décadas se han localizado entre 5 km y 183 km; y los hipocentros han estado a menos de 120 km de profundidad, la mayoría de los sismos ocurridos han sido superficiales. Existe evidencia de licuación de suelos en la ciudad de Piura por los sismos de 1857, 1912 y 1970, que generó grietas con aberturas de hasta 30 cm y saltos de 25 cm y la formación de volcanes de arena entre 0.6 y 1 m de diámetro (Silgado, 1978; Hurtado, 2011).

Los datos para caracterizar M y amax correspondientes al departamento de Piura, se obtuvieron del Instituto Geofísico del Perú IGP y USGS en el período de 1970 – 2015. La magnitud del sismo utilizada en el análisis es magnitud momento Mw que varía de 4 a 6.5 y la aceleración varía de 0.01 a 0.44g, ambas variables se ajustaron a funciones de distribución beta y los parámetros de las funciones se muestran en la Tabla 1. M y amax se asumen como variables independientes, lo cual permite obtener una probabilidad de licuación mayor. La función beta obtenida para la aceleración sísmica es compatible con las curvas de probabilidad de excedencia típicas obtenidas en evaluaciones de amenaza sísmica (Gamarra, 2009). La función de distribución beta es muy versátil porque los datos se pueden adecuar con sólo variar los parámetros q y r que son una medida de la asimetría y kurtosis de las funciones generadas, y se acota con los parámetros a y b que corresponden al límite inferior y superior, respectivamente. La función beta esta definida por las siguientes expresiones:

fX(x)=1B(q,r)(xa)q1(bx)r1(ba)q+r1 (7)
B(q,r)=01xq1(1x)r1dx (8)

Tabla 1 Parámetros de la función y estadísticos para M y amax

Parámetros de la función M amax, g
q 0.70 0.80
r 3.80 11.50
b 6.50 0.45
a 4.30 0.00
Promedio 4.64 0.03
Desviación estándar 0.34 0.03
Coeficiente de variación 0.07 1.04

Para determinar los momentos estadísticos de zw, se considera que el nivel encontrado en cada una de las perforaciones es el valor esperado y se supone que el coeficiente de variación del nivel freático es igual al coeficiente de variación de la precipitacion diaria anual en la ciudad suponiendo que el aumento del nivel de agua sólo depende de la infiltración de agua de lluvia (SGC, 2015). Esta suposición se realiza con base en la característica desértica de la zona y en los depósitos de arena que van desde muy sueltos a medios con valores de N menores a 20 golpes/ pie hasta los 4 m de profundidad, que permite la infiltración rápida de agua. Esta afirmación se basa en los resultados de Puga (2012) que encontró a través de ensayos de permeámetro de carga constante que arenas con densidad relativa menor presentan mayores permeabilidades.

La variabilidad de la precipitación anual se caracterizó con el registro de períodos lluviosos de 45 años (1971 – 2015) en la estación del Radar Universidad de Piura, ubicada en el nor occidente de la ciudad. En la Figura 2 se presenta la precipitación anual en la estación del Radar de la Universidad de Piura y se observa que los años 1983 y 1998 fueron los de mayor precipitación anual. Estos son los años en los que se presentó el fenómeno El Niño y que produjo inundaciones y la caída de puentes en la zona del río Piura. Al analizar todos los datos de precipitación anual se obtiene un coeficiente de variación de 259 %, por lo que se separaron los datos de los años de fenómeno El Niño de los datos de años sin este fenómeno y se obtuvó las funciones de probabilidad que se ajustan a ambos escenarios por separado.

Los datos de precipitación anual de años sin fenómeno El Niño se ajustaron a una distribución lognormal y los datos de años con fenómeno El Niño se ajustaron a una distribución normal, ambos ajustes cumplen con un nivel de confiabilidad de 95% de acuerdo a la prueba K-S. En la Tabla 2 se presentan los parámetros de la función y estadísticos de los datos.

Tabla 2 Parámetros de la función y estadísticos para la precipitación anual

Parámetros de la función Precipitación años con fenómeno El Niño, mm Precipitación años sin fenómeno El Niño, mm
Distribución lognormal x
Distribución normal x
λ 3.927
ξ 0.815
Promedio 154.54 70.74
Desviación estándar 399.95 68.74
Coeficiente de variación 2.59 0.972

La distribución de probabilidad lognormal es estrictamente positiva y con el aumento de la desviación estándar aumenta la asimetría. La función está dada por la siguiente expresión:

fX=1ξx2πexp[12(lnxλξ)2] (9)

donde los parámetros λ y ξ están en función de la media y desviación estándar de todos los datos.

λ=lnμx0.5ξ2yξ=ln(1+COV2) (10)

Tabla 3 Parámetros de la función y estadísticos para el valor de N del SPT por profundidad

Función de distribución de probabilidad 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m
Distribución lognormal x x x x x x x
Distribución beta x
Parámetros de la función
q 3
r 4
b 100
a 16
λ 2.28 2.58 2.84 3.11 3.41 3.73 3.87
ξ 0.24 0.26 0.22 0.21 0.18 0.15 0.16
Promedio 11 15 19 25 33 45 52 66
Desviación estándar 5.77 8.09 9.36 12.2 14.7 18 21.6 22.1
Coeficiente de variación 0.52 0.54 0.49 0.49 0.45 0.40 0.41 0.33

Los coeficientes de variación de N son mayores en las capas superficiales y van disminuyendo con la profundidad. Harr (1984) reportan COV de N entre 40 y 45% y Kulhawy y Trautman (1996) reportan valores entre 14 y 100% considerando la variabilidad del equipo, procedimiento y variabilidad natural. Los valores encontrados en la ciudad de Piura se encuentran dentro de lo reportado en la literatura y se asocia principalmente a la incertidumbre del equipo y procedimiento dado que corresponde a un solo tipo de suelo.

Para caracterizar los momentos estadísticos y la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria densidad seca ρ, se recopilaron datos de ensayos de densidad de las muestras de las exploraciones tipo SPT obtenidas a cada metro de profundidad. Estos valores se ajustaron a funciones de probabilidad lognormal y beta con los parámetros indicados en la Tabla 4.

Función de distrib. de probabilidad 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m
Distribución lognormal x x x x x x x
Distribución beta x
Parámetros de la función
q 2
r 3.2
b 1.8
a 1.55
λ 0.56 0.65 0.66 0.68 0.70 0.70 0.72
ξ 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.0001
Promedio 1.65 1.75 1.91 1.94 1.97 2.01 2.02 2.05
Desviación estándar 0.04 0.08 0.04 0.05 0.06 0.05 0.04 0.01
Coeficiente de variación 0.03 0.05 0.02 0.03 0.03 0.03 0.02 0.01

Gutiérrez et al. (2003) reportan COV de 6% para la densidad seca de materiales SP - SW y entre 5 y 10% para la densidad seca de materiales SM - ML. La densidad seca de los materiales SP y SM de la ciudad de Piura presenta incertidumbres reflejada en COV menores al 6%. Para la variable aleatoria de contenido de finos FC, se recopilaron datos de ensayos de granulometría de 43 muestras de las exploraciones SPT obtenidas a cada metro de profundidad. Los datos se ajustaron a funciones de probabilidad lognormal con los parámetros indicados en la Tabla 5.

Tabla 5 Parámetros de la función y estadísticos para el contenido de finos por profundidad.

Parámetros de la función 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m
λ 1.11 1.16 1.19 1.18 1.19 1.02 1.04 1.25
ξ 0.31 0.29 0.26 0.22 0.23 0.16 0.21 0.29
Promedio 3.55 3.67 3.73 3.65 3.70 2.99 3.14 4.03
Desviación estándar 2.13 2.11 2.01 1.82 1.89 1.23 1.53 2.35
Coeficiente de variación 0.60 0.57 0.54 0.50 0.51 0.41 0.49 0.58

El coeficiente de variación para el contenido de finos FC es de 60%, variabilidad que es mayor a la reportada por Gutiérrez et al. (2002) que presentan COV de hasta 31.5%. Esto se debe a que las arenas de Piura son de origen aluvial y eólico, lo anterior genera que los depósitos aluviales tengan lentes de limos muy delgados mientras que los depósitos eólicos no suelen presentar finos. Dicha disparidad en el origen de formación de los depósitos se refleja en la mayor variabilidad del contenido de finos.

Métodos para propagación de incertidumbre

Los métodos para análisis de confiabilidad permiten la obtención del índice de confiabilidad y probabilidad de falla del margen de seguridad definido con (6), la cual indica la probabilidad de licuación en la zona de estudio. Los métodos usados en este trabajo son primer orden segundo momento o también conocido como series de Taylor y simulaciones de Montecarlo.

Método de primer orden segundo momento - Series de Taylor

Este método describe la media, varianza y desviación estándar de una función como los primeros términos de una expansión de la serie de Taylor. Se supone que (xi - μxi) de cada variable aleatoria son pequeños (xi es la variable aleatoria y μxi es la esperanza de la variable aleatoria), por lo que los cuadrados y potencias más altas también lo son y pueden ignorarse. La esperanza del margen de seguridad E[MS] se obtiene evaluando el valor medio de cada variable aleatoria en (6).

E[MS]MS(μamax,μM,μρ,μzw,μN,μFC) (11)

La varianza del margen de seguridad Var[MS] se obtiene con la derivada parcial de la función de desempeño con respecto a la variable aleatoria, suponiendo que las variables son independientes entre sí.

Var[MS]=σMS2σMS2σamax2MS2amax+σM2MS2M+σρ2MS2ρ+σzw2MS2zw+σN2MS2N+σFC2MS2FC|μamax,μM,μρ,μzw,μN,μFC (12)

Simulaciones de Monte Carlo

El método de Monte Carlo permite determinar la distribución probabilística de la función de desempeño mediante la generación de números aleatorios basado en las variables aleatorias de la función. Este método plantea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento, realizando el experimento un número suficiente de veces, determinando la función de desempeño como una distribución probabilística de los resultados obtenidos en los experimentos realizados. Conociendo la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de la función de desempeño, se muestrean aleatoriamente valores de estas variables aleatorias, y se evalúa determinísticamente la función. El proceso previamente explicado se repite un número de veces suficientemente grande para conseguir la convergencia de la distribución de probabilidad de la función de desempeño (Hidalgo y Pacheco, 2011; Arevalo et al, 2014; Prada et al, 2011). Esta convergencia se evalúa en el primer y segundo momento estadístico para obtener la cantidad de simulaciones requeridas para que la variación de estos sea mínima.

La aplicación del Método Monte Carlo es eficiente cuando se cuenta con las herramientas computacionales para efectuar grandes volúmenes de cálculos numéricos, debido a que se consigue una mejor aproximación de la función de densidad de probabilidad resultante cuando se incrementan el número de simulaciones realizadas. Se obtuvo convergencia de los momentos estadísticos del margen de seguridad para 100000 simulaciones como se observa en la Figura 3.

El cálculo de probabilidad de licuación se realizó por el método de series de Taylor y simulaciones de Monte Carlo en las 64 perforaciones de la ciudad de Piura. Esta probabilidad de licuación es anual debido a que la incertidumbre de amax, M y precipitación se realizó por año en una ventana temporal desde 1970 a 2015.

Tabla 6 Porcentaje de influencia de las variables aleatorias en la incertidumbre de MS

Prof., m amax, % M, % zw, % ρ, % N, % FC, %
1 0.032 0.002 94.19 0.016 5.76 0.000
2 0.008 0.000 86.47 0.165 13.36 0.000
3 0.006 0.000 54.88 0.059 46.05 0.003
4 0.021 0.001 50.83 0.015 49.00 0.002

Para conocer la influencia de los componentes CSR y CRR en MS, se obtiene la varianza de cada componente y se analiza con respecto a la suma de varianzas y los resultados indican que el CRR presenta mayor incertidumbre en la probabilidad de licuación que el CSR (ver Figura 4). Este resultado se debe a que las variables que intervienen en el cálculo del CRR son zw, N, ρ y FC, que incluye las dos variables más influyentes; mientras que para el cálculo de CSR interviene zw, amax, M y ρ, que tiene sólo una variable influyente. El CSR posee una influencia de 3.3% a 1 m de profundidad y disminuye hasta 0.01% a 4 m de profundidad, por lo que la incertidumbre del CRR es la más influyente en el cálculo de licuación de la ciudad de Piura.

A1 m de profundidad la curtosis es mayor por el método de series de Taylor y a 4 m de profundidad la curtosis es mayor por el método de simulaciones de Monte Carlo. Si se compara la diferencia de probabilidad de licuación obtenida con la diferencia encontrada en los resultados del trabajo de Jha y Suzuki (2008), se puede indicar que es pequeña y se debe a la forma de las funciones de probabilidad del margen de seguridad obtenidas a distintas profundidades.

Para visualizar la probabilidad de licuación en la ciudad de Piura se realizó una interpolación usando la técnica de distancia inversa ponderada IDW. En la Figura 6 se presenta el mapa de la ciudad de Piura con los contornos de probabilidad de licuación obtenido por simulaciones de Monte Carlo.

Conclusiones

Referencias

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Recibido: 27 de Febrero de 2017; Aprobado: 30 de Agosto de 2017

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