Información Tecnológica-Vol. 16 N°4-2005, págs.: 83-90

ARTICULOS VARIOS

Metodología de Diseño Optimo en Tiempo para Circuitos Electrónicos no Lineales

Time-Optimal Design Methodology for Nonlinear Electronic Circuits

E. Ríos⁽¹⁾ y A. M. Zemliak^(2)
(1) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Facultad de Ciencias de la Electrónica,
Edificio 129, Ciudad Universitaria, 72570 Puebla, Pue.-México (e-mail: erios@ece.buap.mx)
⁽²⁾ Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas,
Av. San Claudio y 18 Sur, Ciudad Universitaria, 72570 Puebla, Pue.-México (e-mail: azemliak@fcfm.buap.mx)

Resumen

Se presenta una metodología para el diseño de sistemas no lineales en tiempo óptimo. Se emplea la teoría de control óptimo y un conjunto de funciones de control especiales para generalizar la metodología y producir varias estrategias de diseño dentro del mismo procedimiento de optimización. La combinación de algunas estrategias define la trayectoria de diseño óptima o cuasi-óptima en tiempo de computación. Para generar los resultados numéricos en un computador personal se escribió un programa en lenguaje C++. El diseño de algunos circuitos electrónicos no lineales muestra que esta metodología puede reducir sustancialmente el número total de operaciones y acelerar el proceso de diseño. Se concluye que la ganancia en tiempo de esta metodología de diseño aumenta con respecto a la metodología tradicional a medida que el tamaño y la complejidad del sistema crecen.

Abstract

A methodology is presented for the time-optimal design of non-linear systems. Optimal control theory and a set of special control functions are introduced in order to generalize the design methodology and to produce various different design strategies within the same optimization procedure. The combination of some of these strategies defines the optimal or quasi-optimal design trajectory based on computation time. The numerical results were obtained by personal computer using a C++ language program. The design of some nonlinear electronic circuits showed that this methodology can substantially reduce the total number of operations and accelerate the design process. It is concluded that the gain in time using this design methodology  increases, in comparison with traditional methodology, as the complexity of the system grows.

Keywords: electronic circuits, system design, control theory, time-optimal design, time gain

INTRODUCCIÓN

Uno de los principales problemas que se presentan durante el proceso de diseño de sistemas grandes y complejos empleando un equipo de cómputo es el excesivo tiempo que transcurre para obtener las especificaciones deseadas. Este problema es muy importante porque aparece en una gran cantidad de aplicaciones, por ejemplo en el diseño de circuitos electrónicos VLSI.

La formulación del diseño tradicional de sistemas esta constituida por un procedimiento iterativo que incluye dos partes: el análisis y el procedimiento de optimización. El análisis permite obtener las propiedades del sistema a partir de su modelo matemático y el procedimiento de optimización modifica los valores de los elementos del sistema para obtener el punto óptimo, o cuasi-óptimo, de la función objetivo.

Algunos métodos para reducir el tiempo de cómputo necesario para el análisis de circuitos aprovechan las características de baja densidad que presenta la representación matricial de los modelos matemáticos de los circuitos electrónicos grandes (Bunch y Rose, 1976; Osterby y Zlatev, 1983; George, 1984).

Otro mecanismo para reducir el tiempo del análisis es disminuir el esfuerzo computacional requerido para la solución de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos métodos son: separación de ramas (Wu, 1976), separación de nodos (Sangiovanni-Vincentelli et al, 1977) y esquema de macro modelos (Rabat et al., 1985). Por lo que respecta a la reducción del tiempo de cómputo empleado por los procedimientos de optimización, existen técnicas muy eficientes que han sido estudiadas exhaustivamente y desarrolladas tanto para optimización sin restricciones como para optimización con restricciones.

La contribución de los métodos mencionados arriba para reducir el tiempo total de cómputo ha alcanzado el punto de saturación. Se ha desarrollado otra metodología que toma como punto de partida la idea de excluir totalmente el modelo del sistema que se analiza (Rizzoli, Costanzo y Cecchetti, 1990; Ochotta, Rutenbar y Carley, 1996) y existen otras propuestas que aprovechan estas ideas para reducir el tiempo de diseño. El método usado en este estudio para reducir el tiempo de diseño consiste en reformular el problema de diseño y generalizarlo para obtener un conjunto de estrategias diferentes dentro del mismo procedimiento de optimización (Zemliak, 2001). De esta manera es posible obtener la definición del algoritmo de diseño óptimo en tiempo donde la ganancia más significativa en tiempo de cómputo ocurre cuando la trayectoria óptima es hallada. Este enfoque abre una nueva puerta para lograr el diseño de sistemas en tiempo óptimo.

El objetivo de este trabajo es desarrollar los principios de una nueva metodología que contempla distintos caminos para lograr el diseño de un sistema y que, a partir de un enorme conjunto de trayectorias, permite seleccionar una o varias trayectorias óptimas en tiempo.

Los resultados numéricos fueron generados por un programa escrito en lenguaje C++ y se presentan en tablas que comparan el tiempo de diseño con el número de iteraciones e ilustran la ganancia en tiempo con respecto al diseño tradicional. 

METODOLOGÍA

El proceso de diseño para un sistema puede definirse como el problema de minimizar la función objetivo C(X), donde , con unas restricciones representadas por el propio modelo matemático del sistema (1):

                (1)

Este sistema de restricciones es el conjunto de requisitos que debe satisfacer el circuito electrónico. La función objetivo puede incluir varios criterios pero siempre se supone que el punto mínimo de C(X) garantiza que se cumplan todas las exigencias del diseño.

Se considera que N es el número total de variables en el sistema y  N=K+M, donde K y M son los números de variables independientes y dependientes respectivamente. El vector de coordenadas de fase _X  está compuesto por dos partes: , donde  es el vector de variables independientes y  es el vector de variables dependientes. Este proceso ha sido generalizado con base en la aplicación de la teoría de control como se describe en Zemliak (2001), donde el proceso de diseño es definido mediante el procedimiento de optimización (2) y por el análisis del sistema (3):

                          (2)

 ,         (3)

donde; H es el vector de dirección del movimiento. El vector H no sólo depende del procedimiento de optimización y de la estructura de la función objetivo, también depende del vector de funciones especiales de control  que gobierna el proceso de diseño por medio de la reestructuración del problema tratado por (2)-(3) en cada paso de optimización, donde;  ; . La función vectorial H en este caso depende de una nueva función objetivo  y, por ejemplo para el método del gradiente, tiene la forma (4):

                                       (4)

Para este caso se requiere una nueva función objetivo generalizada definida por (5):

                           (5)

donde;  representa la función especial de compensación adicional (6):

                    (6)

Esta función especial de compensación incorpora la información de las ecuaciones del sistema ausentes en (3) en la función objetivo generalizada (5), de acuerdo con los valores de las funciones de control u_j que indican presencia o ausencia de la correspondiente ecuación del sistema, y su propósito es el de guiar a la trayectoria hacia el punto final del proceso de diseño. El valor del parámetro  en (6) depende del método de optimización, de la topología del circuito y de otros factores. Su valor se puede manejar durante el proceso de optimización. Para los ejemplos presentados se eligió el valor 1.

Debido a que las funciones de control u_j dependen del punto actual del proceso de diseño, y son introducidas para generalizarlo, el sistema (3) sustituye al sistema (1). El sentido de las funciones de control u_j se define de la siguiente manera: incluir la ecuación número _j  en el sistema (3) y remover el término  de la función especial de compensación (5) cuando  y, por el contrario, remover la ecuación número _j  del sistema (3) e incluir el término  en la función especial de compensación (6) cuando .

Cuando todos los valores de las funciones de control u_j son iguales a  se presenta la estrategia de diseño tradicional, donde se resuelve el sistema (3) completo en cada iteración y no interviene la función especial de compensación. Cuando todos los valores de las funciones de control u_j son iguales a ₁  tiene lugar la estrategia de diseño tradicional modificada, donde no se resuelve el sistema (3) y se incluyen todos los términos de la función especial de compensación en cada iteración.

La metodología que considera el conjunto de todos las combinaciones posibles de las funciones de control u_j recibe el nombre de estrategia general, que incluye a las estrategias tradicional, tradicional modificada y a un conjunto de estrategias intermedias en las que se resuelve sólo una parte del sistema (3) en cada iteración e intervienen los respectivos términos de la función especial de compensación. El número de distintas trayectorias para la estrategia general es 2^M.

Las estrategias cuasi-óptimas y óptima se encuentran variando el vector de funciones especiales de control u_j para combinar un conjunto de trayectorias de la estrategia general. Se introducen determinados puntos de conmutación para obtener una trayectoria compuesta por segmentos de diversas trayectorias de la estrategia general. Un punto de conmutación corresponde con un punto situado en determinada trayectoria en el cual se realiza un cambio a una segunda trayectoria, se continúa el proceso de diseño por ella hasta encontrar otro punto de conmutación, se cambia a una tercera trayectoria y así sucesivamente hasta alcanzar el punto final del proceso de diseño.

El número total de trayectorias de diseño que son  producidas en el mismo procedimiento de optimización es muy grande, debido a la enorme cantidad de combinaciones posibles de las trayectorias de la estrategia general, tomando en cuenta las conmutaciones que se pueden realizar en cada paso de integración de los sistemas (2)-(6). El problema fundamental de la construcción del algoritmo óptimo consiste en hallar los puntos de conmutación apropiados para obtener una trayectoria de diseño mínima en tiempo.

El problema de la búsqueda de los puntos de conmutación para hallar la estrategia de diseño óptima es formulado como el problema típico de la minimización de una funcional de la teoría de control, donde la funcional es el tiempo total de diseño. La localización del comportamiento óptimo de las funciones de control es la etapa principal en la construcción del algoritmo óptimo en tiempo y se basa por ejemplo en el efecto de aceleración (Zemliak, 2002) y en las ideas desarrolladas con base en los métodos de control óptimo (Zemliak y Ríos, 2004).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En esta sección se presenta una selección de los resultados obtenidos en este trabajo para tres ejemplos de circuitos electrónicos no lineales. También se incluye una discusión de la validez de estos resultados. El primer ejemplo emplea la topología del circuito no lineal pasivo de cuatro nodos que aparece en la figura 1. En este circuito sólo aparecen elementos pasivos, es decir, elementos que no requieren polarización externa.  Para este ejemplo los elementos pasivos no lineales modifican sus admitancias en función del voltaje de un nodo cercano.

Este circuito presenta cinco variables independientes, , dadas por las admitancias y₁ , y₂ , y₃ , y₄  y₅ , y cuatro variables dependientes, , que corresponden con los voltajes en cada nodo V₁ , V₂ , V₃  y V₄ . El vector de coordenadas de fase toma la forma: , donde cada elemento corresponde con un valor de admitancia o voltaje y se cambian todos los valores de admitancias  por  : , , , , , , ,   y .

Los valores de las admitancias se elevan al cuadrado  para que siempre tomen valores positivos para la función objetivo y adquieran un significado físico congruente.

Los elementos no lineales toman las formas , donde  y  son constantes. El proceso de diseño permite hallar los valores de , con , para obtener por ejemplo , donde . En todos los ejemplos se aplica la técnica de paso  adaptable para integración de la ecuación (2). Para este fin se aplica el método de la parábola interpolante: se evalúa el sistema para tres puntos de la variable temporal, se aplica la técnica de interpolar tres puntos para hallar la ecuación de una parábola invertida y se evalúa el mínimo con una tolerancia del 10% para evitar errores de integración. El sistema de M ecuaciones que describe el modelo del circuito está definido por (7):

    (7)

La función objetivo se puede definir por ejemplo como la ecuación (8):

                              (8)

Para todos los ejemplos se alcanza el mínimo de la función  con un criterio  y se emplea el método del gradiente para la optimización.

El vector de M variables de control toma la forma . El número total de distintas estrategias de la metodología general con el vector de control fijo es . En la tabla 1 se transcriben el tiempo de diseño y el número de iteraciones para algunas estrategias de la metodología general. El primer renglón de la tabla 1 corresponde con la estrategia tradicional y el último corresponde con la estrategia tradicional modificada.

Tabla 1: Algunas estrategias de diseño de la metodología general
para un circuito no lineal pasivo de cuatro nodos.

No existe una relación proporcional entre el número de iteraciones y el tiempo de diseño, por ejemplo la estrategia 5, que corresponde con la estrategia tradicional modificada, requiere el mayor número de iteraciones y presenta el menor tiempo de diseño cuando se le compara con las estrategias 1, 2 y 3. El menor tiempo de diseño se presenta en la estrategia número 4 (0.425 seg.). Ésta es la mejor estrategia que se obtiene usando valores fijos para las funciones de control pero no es la estrategia óptima en general.

Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima con el vector de control variable se presentan en la tabla 2, donde se incluye la ganancia en tiempo con respecto a la estrategia tradicional. El vector de funciones de control de la estrategia óptima requiere tres puntos de conmutación y su ganancia en tiempo de cómputo con respecto a la estrategia tradicional es de 12.26.

Tabla 2: Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima
para un circuito no lineal pasivo de cuatro nodos.

La figura 2 ilustra un amplificador de corriente compuesto por tres celdas de transistores bipolares NPN en la configuración de emisor común. La topología del circuito electrónico para el segundo ejemplo corresponde con la primera celda de este amplificador. Aunque el circuito contiene un elemento activo su modelo es un sistema de ecuaciones semejante al de un circuito pasivo, por lo que el proceso de diseño es similar.

Este es un circuito no lineal activo de tres  nodos que presenta tres variables  independientes,  , dadas por las admitancias y₁ , y₂  y y₃ , y tres variables dependientes, , que corresponden con los voltajes en cada nodo V₁ , V₂  y V₃ .  Se usan las características típicas de un transistor bipolar de Ge. El propósito  del proceso de  diseño es hallar los valores de , con , para que el transistor opere en la región activa. El vector de coordenadas de fase toma la forma: , donde cada elemento corresponde con un valor de admitancia o voltaje y se cambian todos los valores de admitancias  por : , , ,  ,  y . El sistema de M ecuaciones que describe el modelo del circuito se transcribe en (9):

       (9)

Donde los valores de las corrientes se calculan usando el modelo de Ebers-Moll (Massobrio y Antognetti, 1993). La función objetivo se puede definir por ejemplo como la ecuación (10):

    (10)

Los términos  y  fuerzan a los voltajes de unión para que tiendan a los valores especificados en el diseño original.

El vector de M variables de control toma la forma . El número total de distintas estrategias con el vector de control fijo es . En la tabla 3 se transcriben el tiempo de diseño y el número de iteraciones para algunos estrategias de la metodología general. El menor tiempo de diseño se presenta en la estrategia número 5 (0.438 seg.) aunque el número de iteraciones que le corresponde no es el menor. Ésta es la mejor estrategia que se obtiene  usando  valores  fijos para las funciones de control pero no es la estrategia óptima en general.

Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima se presentan en la tabla 4, donde se incluye la ganancia en tiempo con respecto a la estrategia tradicional. El vector de funciones de control de la estrategia óptima requiere dos puntos de conmutación y su ganancia a en tiempo de cómputo con respecto a la estrategia tradicional es de 34.46.

Tabla 3: Algunas estrategias de diseño de la metodología general
para un circuito no lineal activo de tres nodos.

Tabla 4: Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima
para un circuito no lineal activo de tres nodos.

La topología del circuito para el tercer ejemplo corresponde con la representación del amplificador de corriente de tres celdas y siete nodos que se muestra en la figura 2. Presenta siete variables independientes, , dadas por las admitancias y siete variables dependientes, , que corresponden con los voltajes en cada nodo. Se usan las características típicas para transistores bipolares de Ge y el diseño consiste en hallar los valores de , con ,  para que el transistor opere en la región activa. El vector de coordenadas de fase es: , donde cada elemento corresponde con un valor de admitancia o voltaje y se cambian todos los valores de admitancias  por . El sistema de M ecuaciones que describe el modelo del circuito corresponde con (11):

(11)

La función objetivo se puede definir por ejemplo como la ecuación (12):

  (12)

Los términos , ,  y  fuerzan a los voltajes de unión para que tiendan a  los  valores  especificados en el diseño original. El vector de M variables de control toma la forma .

El número total de distintas estrategias con el vector de control fijo es . En la tabla 5 se transcriben el tiempo de diseño y el número de iteraciones para algunos estrategias de la metodología general. El menor tiempo de diseño se presenta en la estrategia número 5 (31.675 seg.). Ésta es la mejor estrategia que se obtiene usando valores fijos para las funciones de control pero no es la estrategia óptima en general. Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima se presentan en la tabla 6, donde se incluye la ganancia en tiempo con respecto a la estrategia tradicional. El vector de funciones de control  de  la  estrategia óptima requiere tres puntos de conmutación y su ganancia en tiempo de cómputo con respecto a la estrategia tradicional es de 272.92.

Tabla 5: Algunas estrategias de diseño de la metodología general
para un circuito no lineal activo de siete nodos.

Tabla 6: Algunas estrategias de diseño cuasi-óptimas y óptima
para un circuito no lineal activo de siete nodos.

Estos resultados han sido obtenidos con base en el análisis detallado de varias estrategias con distintos puntos de conmutación. Es posible emplear métodos aproximados de la teoría de control óptimo para realizar la búsqueda de la trayectoria óptima (Barbashin, 1967; Pytlak, 1999). Sin embargo, es necesario adaptar estos métodos al problema de diseño de circuitos, que cuando presentan una gran cantidad de nodos representan un problema muy complejo que no aparece en la teoría de control óptimo, ya que el número de funciones de control es igual al número de nodos del sistema.

CONCLUSIONES

La metodología de diseño tradicional no es óptima en tiempo. Es viable aplicar los principios de la teoría de control óptimo para construir una metodología de diseño en tiempo óptimo. En esta investigación los puntos de conmutación para cambiar de una trayectoria del proceso de diseño a otra fueron hallados tomando como referencia el efecto de aceleración. El estudio detallado de diferentes circuitos electrónicos no lineales sujetos a la metodología de solución propuesta, permite afirmar que la ganancia potencial en tiempo de cómputo se incrementa conforme el tamaño y la complejidad del circuito crecen, y cuando el número de operaciones de la estrategia tradicional es relativamente grande. El análisis detallado de distintas estrategias permite comprender el comportamiento de una estrategia óptima cuyas características se pueden obtener con base en métodos aproximados de la teoría de control.

REFERENCIAS

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