## On-line version ISSN 0718-0764

### Inf. tecnol. vol.16 no.1 La Serena  2005

#### http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000100006

Información Tecnológica-Vol. 16 N°1-2005, págs.: 35-41

TRANSFERENCIA DE CALOR Y MATERIA

Transporte de Materia con Reducción de Volumen en el Interior de Sólidos Paralelepípedos

Mass Transport with Shrinkage Inside Parallelepiped Solids

J. J. S Nascimento1; B. J. T. Mederos2; F. A. Belo3 y A. G. B. de Lima1
(1) Universidad Federal de Campina Grande. Centro de Ciencias y Tecnología, Departamento de Ingeniería Mecánica. Casilla Postal 10069,
CEP 58109-970, Campina Grande, PB, Brasil. (e-mail: jefferson@dem.ufcg.edu.br; gilson@dem.ufcg.edu.br)
(2) Universidad Estadual de Campinas. Facultad de Ingeniería Mecánica. Casilla Postal 6011, CEP 13083-970, Campinas, SP, Brasil.
(e-mail: barbarat@agr.unicamp.br)
(3) Universidad Federal da Paraiba. Centro de Tecnología, Departamento de Tecnologia Mecánica., João Pessoa, PB, Brasil.
(e-mail: belo@dem.ufpb.br)

Resumen

Abstract

A three-dimensional transitory mathematical model is described as applied to the phenomenon of diffusion of water within parallelepiped solids. The finite volumes method was used , considering thermo-physical properties to be constant, equilibrium at the surface, and shrinkage of the material. The model was applied to study the drying process of a ceramic brick. Results are presented on the drying kinetics, on the humidity content distribution of several layers over a determined period, and using two shrinkage coefficients. The results showed that the phenomenon of volume reduction considerably affected the drying rate of the solid, as did the distribution of humidity content within the interior of the solid. It was also found that the highest gradients of humidity content were located near the vertex of the solid at any instant in time. The knowledge of the moisture gradients and drying kinetics allowed optimization of this process and increasing the quality of the final product.

Keywords: drying of solids, finite-volume, simulation, ceramics, parallelepiped

INTRODUCCION

El proceso de secado es un fenómeno en el que ocurre, de forma simultánea, las transferencias de calor y masa así como el encogimiento. De esta forma, una aproximación realista al modelo físico-matemático del proceso de secado, incluye las condiciones internas y externas a que está sometido el sólido y también el mecanismo de salida de humedad del material.

Según algunos autores en el caso de arcilla, para mejorar la comprensión del mecanismo de secado, se precisa realizar una investigación microscópica en el estado de la cantidad de agua en el producto (Itaya y Hasatani, 1996), En este sentido, algunos autores, afirman que durante el secado de arcilla, el mecanismo dominante de migración de humedad es el transporte de difusión líquida (Elias, 1995; Fricke, 1981; Ketelaars et al., 1992; Hasatani y Itaya, 1992). Sin embargo, otros autores, tales como, van der Zanden et al. (1996), Kroes et al. (1996), van der Zanden (1997) y Su (1997) consideran que existe transporte de líquido y vapor. Estos autores mostraron en sus trabajos que la concentración de vapor es directamente proporcional a la porosidad, de acuerdo con las experiencias de Pukall (Medeiros, 1977).

Durante el secado de los sólidos, el fenómeno de encogimiento está implícito, lo que  provoca la alteración de la cinética de secado y de las dimensiones del sólido. Por otro lado el transporte de humedad es más intenso en los materiales cerámicos que tienen valores altos de humedad inicial, específicamente cuando los productos tienen una granulosidad muy fina. Dependiendo de las condiciones en que ocurre el proceso de secado, de la estructura del material y de la geometría de los productos, el encogimiento puede ocasionar grietas y deformaciones llegando a provocar la fractura del sólido. Por esta razón, cuando se considera el fenómeno de encogimiento en los modelos matemáticos, se pueden evaluar de forma más realista las condiciones del proceso de secado, pues éste tiene un papel muy importante en la difusión de masa y en la razón de transporte de la humedad.

Cuando se está desarrollando un modelo matemático, se deben considerar las propiedades del material y las condiciones de contorno relacionadas con el fenómeno físico en estudió. Sin embargo, en la literatura no existen informaciones suficientes sobre los coeficientes de encogimiento, así como de las relaciones matemáticas entre la difusividad de masa, el encogimiento y la densidad. A pesar de esto, en la literatura se pueden encontrar gráficos que muestran la relación entre la retracción lineal con el contenido de la humedad (Reeds 1991; Norton, 1975). Algunos trabajos sobre el fenómeno de encogimiento volumétrico fueron desarrollados por Itaya et al. (1997); Keteraals et al. (1992); Hasatani y Itaya (1992); Itaya y Hasatani (1996), Nascimento et al. (2001), Nascimento (2002) e Nascimento et al. (2002).

Este trabajo tiene como objetivo presentar un modelo matemático tridimensional de la transferencia de masa en sólidos paralelepípedos, incluyendo encogimiento, aplicando la metodología al secado de ladrillos cerámicos.

Modelo de difusión de masa

Para describir la transferencia de masa en un sólido con forma de paralelepípedo, fueron hechas las siguientes consideraciones:

i) Propiedades termo-físicas son constantes durante todo el proceso de difusión;

ii) Sólido homogéneo e isotrópico;

iii) Distribución del contenido de humedad uniforme al inicio del proceso;

iv) Existencia de simetría en el centro del sólido;

v) Condición de contenido de humedad constante en la superficie del cuerpo; y

vi) Encogimiento del volumen proporcional a la variación del contenido de humedad del sólido.

En la Figura 1 se ilustra un sólido paralelepípedo con dimensiones 2R1x 2R2x2R3. En este caso, la ecuación diferencial general que describe el fenómeno de la difusión toma la forma:

(1)

 Fig. 1: Representación geométrica de las dimensiones del paralelepípedo

donde M es el contenido de humedad (kg de agua / kg del material secado), t es el tiempo (s) y D es el coeficiente de difusión de masa (m2/s).

Como el sólido es simétrico, en los planos (x=0, y, z), (x, y=0, z), (x, y, z=0) se puede considerar como volumen de trabajo 1/8 del total del sólido. La condición inicial de simetría y de contorno para el problema en estudio, fueron las siguientes:

Condición inicial:

(2)

Condiciones de simetría:

, t>0    (3)

Condiciones de contorno en la superficie:

(4)

Para convertir las ecuaciones 1-4 en adimensionales, fueron consideradas las siguientes variables:

,   ,   ,

,   ,                       (5a-f)

con  e V es el volumen.

Derivando estas relaciones y substituyendo en las ecuaciones 1-4, se obtuvo la ecuación general tridimensional en estado transitorio, así como la condición inicial, de simetría y de contorno adimensionales.

En este trabajo fue usado el método numérico de los volúmenes finitos, para desarrollar las ecuaciones por partes. En la Figura 2 se muestra el volumen infinitesimal del dominio físico, con los puntos nodales (W, E, N, S, F, T), el tamaño de este volumen y las distancias ente los diferentes puntos.

La ecuación en forma adimensional fue integrada en el tiempo para el volumen de control (Figura 2), considerando una formulación totalmente implícita y los términos en función del tiempo . La ecuación en la forma lineal se muestra a continuación (Patankar, 1980; Maliska, 1995):

(6)

donde:

El conjunto de ecuaciones resultantes de la ecuación 6 fue desarrollado interactivamente aplicando el método de Gauss–Seidel. Los cálculos partieron de la condición inicial y concluyeron cuando fue alcanzado el criterio de convergencia para cada punto del dominio computacional (Ecuación 7).

.                       (7)

Donde n representa la enésima interacción en cada instante de tiempo.

 Fig. 2:  Volumen de control usado en la solución numérica.

Modelo de reducción de volumen

Usando como base el trabajo de Lima (1999), fue aplicada la ecuación 8 para la determinación del volumen del cuerpo (1/8 del volumen total del sólido) en cualquier instante de tiempo:

(8)

donde  es el contenido de humedad y o volumen en t=0. Usando las variables adimensionales, se puede escribir:

(9)

donde ,  es el contenido de humedad de equilibrio y  es el coeficiente de encogimiento del sólido. Este coeficiente debe ser positivo y con un valor finito, variando de 0 £ < 1. Cuando , significa  que el fenómeno ocurre sin encogimiento.

Si se considera que el encogimiento es isotrópico y que la tasa de variación de (R1)t, (R2)t  e (R3)t se relacionan entre si, como se muestra en la Figura 3, de forma que las relaciones adimensionales permanezcan constantes, se tiene a partir de la Figura 3 que:

(10a)

(10b)

Por otro lado, el volumen de un paralelepípedo, puede ser calculado por la siguiente ecuación (Provenza, 1989):

(11)

Analizando las ecuaciones (8), (9), (10) y (11) se pueden determinar las dimensiones de un sólido en cualquier instante de tiempo. El área superficial de transporte de masa en un paralelepípedo, en un instante de tiempo se puede expresar como:

(12)

El método presentado fue usado para describir la transferencia de masa en un ladrillo  cerámico refractario con dimensiones iniciales (R1 x R3 x R2) igual a 0,100x0,045x0,025m.

La aplicación del método numérico de los volúmenes finitos está muy condicionada por los valores y número de puntos de la malla utilizados en el cálculo numérico. Para verificar el tamaño de la reja y dependencia de intervalo de tiempo, se obtuvieron los resultados con tres mallas clasificadas según tamaño y pasos de tiempos.

 Fig. 3:  Encogimiento del sólido de un paralelepípedo durante el proceso de secado

El efecto del tamaño de la malla en la conducta de la solución numérica fue evaluado cambiando el tamaño de la malla para un paralelepípedo. Es muy importante tener un mando bueno encima del espaciamiento de la malla  en puntos dónde existen las pendientes altas, como en cerca de la superficie, especialmente cerca del vértice del sólido. Después de este estudio, un programa computacional fue escrito utilizando una malla numérica de 20x20x20 puntos y un intervalo de tiempo de .

En la Figura 4 se muestra el contenido de humedad medio adimensional en función del número de Fourier, para la dimensión característica R al inicio del proceso y para cuatro coeficientes de encogimiento. Se notó la existencia de una gran influencia del coeficiente de encogimiento en la tasa de difusión de masa del sólido. Cuanto mayor es el coeficiente, mayor es la tasa de secado y como resultado el tiempo final del proceso se reduce drásticamente, lo que representa una gran economía de energía.

 Fig. 4:  Contenido medio adimensional de humedad en función del número de Fourier para cuatro coeficientes de encogimiento

En la Figura 5 se muestra la distribución del contenido de humedad adimensional en el interior del sólido, en el plano x*=41986 (»R1/2) para el instante t*= 0,002, con y sin reducción de volumen. Figuras similares se encuentran para los planos y* y z*.

 Fig. 5:  Distribución de la propiedad adimensional en el plano x*=0,41986 y t*=0,002

En la figura se destaca la forma de cada una de las fases del paralelepípedo y las líneas de iso-concentración. Es evidente el efecto del fenómeno de encogimiento en la difusión de la humedad en el interior del sólido. Como se muestra en la Figura 3, el encogimiento es proporcional a las dimensiones del sólido durante el proceso de secado. Esta situación es una característica del encogimiento tridimensional, donde el sólido presenta diferentes deformaciones y velocidades de encogimiento en cada dirección, en los ejes de coordenadas x, y e z.

Observando la figura se nota la región de variación del contenido de humedad así como la existencia de altos gradientes en la región próxima al vértice. Esta característica se mantuvo en todos los casos que fueron estudiados. Keey (1992), Hasatani y Itaya (1992), Nascimento (2002) e Nascimento et al. (2002) comprobaron que las regiones cercanas a los vértices son más susceptibles al surgimiento de grietas y deformaciones.

El contenido de humedad adimensional presenta los mayores valores en el centro del sólido para cualquier tiempo de secado. Además, se observó la disminución de esta magnitud durante el proceso de difusión y en cualquier posición. Entonces, se deduce que por este motivo, el contenido de humedad en el interior del sólido se aproxima a su valor de equilibrio con el medio exterior. Las regiones que se secan más rápido son las que tienen una mayor pérdida de agua, y por tanto, son las que tienen un mayor nivel de calentamiento.

Durante el proceso de secado, en la superficie del ladrillo, principalmente en los vértices, se seca de forma más rápida que el centro de este. Entonces esta región se contrae primero, produciendo una reducción de las dimensiones del sólido, lo que se traduce en una reducción del volumen, que al mismo tiempo es equivalente a la cantidad de agua que se evapora del material cerámico. Esta situación dificulta la difusión del agua para fuera del sólido, generando fuerzas de tensión en sentido contrario entre la capa externa e interna. Mientras mayor sea la tasa de pérdida de agua, del sólido, mayor será la tensión resultante (Fricke, 1981).

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos permiten concluir que:

a) el método de los volúmenes finitos es adecuado para estimar los procesos de secado;

b) el fenómeno de encogimiento afecta considerablemente la tasa de secado del sólido, así como, la distribución del contenido de humedad en el interior del mismo;

c) los gradientes más altos del contenido de humedad se sitúan en las proximidades del vértice del sólido, en cualquier instante de tiempo y como consecuencia en esta región se puede producir una mayor cantidad de rajaduras, grietas y deformaciones, que pueden disminuir y perjudicar la calidad de la pieza final en el proceso de secado.

Los autores agradecen a las instituciones CAPES, FINEP y CNPq (Brasil) por la ayuda financiera para la realización de este trabajo.

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