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Bosque (Valdivia)

versión On-line ISSN 0717-9200

Bosque (Valdivia) vol.40 no.3 Valdivia  2019

http://dx.doi.org/10.4067/S0717-92002019000300267 

Artículos

Modelos alométricos altura-diámetro para Bucida buceras (pukté) en Quintana Roo, México

Height-diameter mixed-effect allometric models for Bucida buceras (pukté) in Quintana Roo, Mexico

Jonathan Hernández-Ramos a  

Juan Carlos Tamarit-Urias b  

Xavier García-Cuevas a  

Adrián Hernández-Ramos c  

Roberto Reynoso-Santos d  

Valentín Reyes-Hernández e  

a Instituto Nacional de Investigaciones Forestales, Agrícolas y Pecuarias (INIFAP), Campo Experimental Chetumal, km 25 Carretera Chetumal-Bacalar, Xul-Ha, Quintana Roo, México, forestjonathanhdez@gmail.com, xavier_garciacuevas@yahoo.com.mx

b INIFAP-Campo Experimental San Martinito, km 56,5 Carretera Federal México-Puebla, Tlahuapan, Pue., México, tamarit.juan@inifap.gob.mx

c INIFAP-Campo Experimental Saltillo, Km 342+119 Carretera Saltillo-Zacatecas, Coahuila, México, adrian.hernandezr90@gmail.com

d INIFAP-Campo Experimental Centro de Chiapas, Carretera Internacional Ocozocoautla - Cintalapa km 3, Ocozocoautla de Espinosa, Chiapas, México, rreynososantos@gmail.com

e Colegio de Postgraduados (COLPOS), Campus Montecillo km 36,5 Carr. México-Texcoco, Montecillo, México, Vreyes@colpos.mx

RESUMEN:

Conocer la relación alométrica entre la altura total y el diámetro normal (At-d) es una herramienta técnica importante para reducir tiempos y costos al medir la altura en árboles durante la realización de inventarios forestales maderables, además da certeza a las estimaciones de volumen en un plan de manejo forestal. Quintana Roo, México, posee especies maderables de importancia comercial y es necesario representar esta relación alométrica, por lo que, el objetivo fue ajustar modelos de At-d para árboles de Bucida buceras (pukté) bajo el enfoque de efectos mixtos. Se procesó una muestra de 996 árboles medidos en el Inventario Nacional Forestal y de Suelos 2004-2009, se ajustó el modelo de Schumacher con mínimos cuadrados ordinarios (MCO) y modelo de efectos mixtos (MEM) donde el control de la variabilidad se realizó por agrupaciones al emplear tres criterios de clasificación: diámetro promedio de copa, clase diamétrica de copa y por conglomerado. Cada criterio de agrupación fue considerado como un nivel independiente. Al comparar el ajuste del modelo bajo MCO contra el de MEM, se determinó que los mejores valores en los Criterios de Información Akaike y Bayesiano los presentó el enfoque de MEM, siendo superior el ajuste cuando se agrupó por conglomerado (Pseudo- R2 = 0,346, MCO; Pseudo- R2 = 0,815, MEM) con un sesgo de -0,46 m. El modelo propuesto es confiable para estimar la At en función del d para esta especie en los bosques tropicales de Quintana Roo, México.

Palabras clave: bosque tropical; inventario forestal; manejo forestal; modelos mixtos; relación alométrica

SUMMARY:

Knowing the allometric relationship between the total height and the diameter (At-d) is an important technical tool to reduce times and costs in the realization of timber forest inventories; in addition, it gives certainty to volume estimates in a management plan. Quintana Roo, Mexico, has timber species of commercial importance and it is necessary to represent this relationship, therefore, the objective was to fit At-d models for trees of Bucida buceras (pukté) under the mixed effects approach. A sample of 996 trees measured in the National Forestry and Soil Inventory 2004-2009 was processed and the Schumacher model was fitted under ordinary least squares (OLS) and mixed effects model (MEM), where the control of variability was performed by groupings using three classification criteria: cup diameter class, average cup diameter and by conglomerate. Each grouping criterion was considered as an independent level. When comparing the fit of the MCO model against that of MEM, it was determined that the best values in the Akaike and Bayesian Information Criteria were presented by the MEM approach. The fit was higher when grouped by conglomerate (Pseudo-R2 = 0.346, approach classic, Pseudo-R2 = 0.815, mixed effects) with a bias of -0.46 m. The proposed model is reliable to estimate the At as a function of d for this species in the tropical forests of Quintana Roo.

Key words: tropical forest; forest inventory; forest management; mixed models; allometric relationship

INTRODUCCIÓN

Los modelos biométricos desarrollados para la ciencia forestal permiten entender la dinámica de crecimiento del bosque; sin embargo, este crecimiento está influenciado por diversos factores como densidad, índice de sitio, tipo de suelo o mezcla de vegetación, por mencionar algunos, los cuales afectan la productividad y las relaciones alométricas que presentan. Por lo anterior, árboles que crecen bajo condiciones similares, tienen una razón de proporción constante entre sus partes, solo diferenciándose por la historia particular de cada individuo, representada cuantitativamente a través de modelos alométricos lineales o no lineales.

La relación alométrica entre la altura total de un árbol (At) y su diámetro normal (d) es considerada una característica importante para el levantamiento de información en un inventario forestal maderable (Corral-Rivas et al. 2014) así como para la elaboración y ejecución de planes de manejo. Sin embargo, la obtención de expresiones matemáticas con un coeficiente de determinación cercano a la unidad, que es lo deseable, ha sido complejo debido a la gran variabilidad que se presenta en esta relación, por lo anterior, el ajuste bajo la técnica de modelo de efectos mixtos (MEM) se ha convertido en una opción apropiada para este tipo de estudios (Corral-Rivas et al. 2014, Ercanli 2015).

El uso de MEM en el área de la biología ha tenido un avance significativo en años recientes, en particular en la investigación del comportamiento ecológico de las especies (Seoane 2014), donde ha sido una opción para agrupar las fuentes de variabilidad. Además, en la investigación forestal, se considera una técnica confiable y de amplia aplicabilidad en el análisis del crecimiento o de las relaciones alométricas de las especies (García y Rapelli 2011). Esta técnica, incluye en su formulación parámetros fijos comunes a toda la población y parámetros aleatorios específicos de cada unidad de muestreo o nivel de clasificación, lo cual, hace que el ajuste por MEM sea más eficiente, preciso y confiable que solo incluir parámetros fijos del modelo, por tanto se pueden hacer estimaciones promedio con mayor certidumbre de la variable de interés.

Existen algunos estudios bajo el enfoque de MEM que han demostrado la factibilidad de su aplicación, tales como el trabajo de Aparicio et al. (2009) quienes evaluaron la dinámica de crecimiento temprano de Austrocedrus chilensis (D. Don) Pic. Ser et Bizzarri; Duran et al. (2002) al modelar y comparar el crecimiento de árboles de los géneros Fagus y Acer en un bosque bajo manejo; Calama y Montero (2004) al ajustar la At a través del d en Pinus pinea L.;Ercanli (2015) al modelar la At en diferentes condiciones de crecimiento y densidad a través del d en árboles de Fagus sp.; y López et al. (2015) al describir la tasa de crecimiento de árboles neo tropicales en bosques de distintas condiciones climáticas.

Quintana Roo es un estado de importancia forestal con una extracción anual de alrededor de 36.000 m3 de maderas en rollo de especies comunes tropicales (SEMARNAT 2016) y Bucida buceras L. (pukté) es una de las especies de interés comercial para la industria forestal, además de que es considerada como una madera dura y con un potencial alto en la industria del aserrío. Esta especie en general ha sido poco estudiada, por lo que es importante contar con herramientas cuantitativas de apoyo para la elaboración de planes de manejo. Con base en lo anterior, se plantea el objetivo de ajustar un modelo alométrico de altura - diámetro para árboles de B. buceras que crecen en bosques tropicales de Quintana Roo con la inclusión de efectos mixtos y evaluar el efecto de la clase diamétrica de copa, diámetro de copa y conglomerado como criterios de agrupación, bajo la hipótesis de que la inclusión de covariables como formas de agrupación de la varianza dentro de los modelos de At-d mejora el ajuste estadístico y la precisión de las estimaciones.

MÉTODOS

El estudio se realizó en todo el estado de Quintana Roo, México, donde la vegetación predominante es selva baja caducifolia y selva mediana sub-perennifolia, establecida en las topoformas de lomeríos bajos y llanura rocosa, con un clima predominante de tipo cálido sub-húmedo (Aw) con temperatura media anual de 26 °C y una precipitación media de 1.300 mm (SEMARNAT-CONAFOR 2014).

La muestra se conformó por 996 árboles de B. bucera con los cuales se construyó una base de datos con las variables At medida de forma directa con una vara telescópica, d cuantificado con una cinta diamétrica, y diámetro de copa (dc) promedio de dos registros medidos con una cinta métrica, distribuidos en 122 sitios de muestreo en forma de conglomerados, cuatro sitios de muestreo de 400 m2 distribuidos en forma de ´Y´, establecidos a cada 5 km de distancia entre uno y otro, levantados por distintas brigadas en el Inventario Nacional Forestal y de Suelos de 2004-2009 (INFyS 2004-2009), con el argumento de que las diferencias en la vegetación causadas por factores medio-ambientales como clima, suelo, topografía, etc., pueden ser representadas satisfactoriamente con el acomodo de dicho muestreo (CONAFOR 2016) (figura 1). Los valores promedio de la información en d, At y dc fueron de 17,58 cm, 7,88 m y 3,42 m, respectivamente (cuadro 1).

Figura 1 Distribución de los conglomerados seleccionados en el estudio. Distribution of the conglomerates selected in the study 

Cuadro 1 Estadística descriptiva de las variables analizadas para la muestra de árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Descriptive statistics of the variables analyzed for the sample of B. buceras trees in tropical forests of Quintana Roo. 

d: diámetro normal (cm). dc: diámetro de copa (m). At: altura total (m).

Las variables analizadas fueron agrupadas con base en tres criterios de clasificación: i) por el dc el cual se determinó promediando las dos mediciones de la copa de cada individuo para obtener 22 grupos, ii) por clase de copa (ClassCop) agrupando los dc con intervalos de dos metros y formar 6 grupos y, iii) por conglomerado (Congl) donde se tuvieron 122 grupos. Esta clasificación a manera de niveles independientes permite asumir que en cada grupo la varianza será diferente y específica. Las primeras dos agrupaciones se realizaron debido a que las características de diámetro, cobertura y longitud de copa en un árbol guardan una relación alométrica directa con el diámetro normal, además están estrechamente relacionadas con la densidad, capacidad de crecimiento, desarrollo y vigor de los individuos, ya que reflejan el grado de competencia acumulada por el espacio de crecimiento que tienen las especies a lo largo del tiempo y son una respuesta directa del crecimiento en d, debido a que esta variable es la más susceptible a la densidad. En tanto que la agrupación por conglomerado, se hizo con base en que dentro del INFyS la distribución y acomodo de cada unidad de muestreo (Conglomerado) representa de forma confiable las distintas condiciones y la variabilidad de crecimiento de los ecosistemas (CONAFOR 2012).

Para modelar la relación At-d, se ajustó el modelo de crecimiento de Schumacher (1939) de dos parámetros mediante MCO y bajo la técnica de MEM al incluir efectos aleatorios solo en uno de los parámetros y evaluar la calidad del ajuste en cada nivel o criterio de agrupación (cuadro 2). Se utilizó la técnica de máxima verosimilitud (ML) en el programa R-project Versión 3,4,3 ® mediante el procedimiento nlme (López et al. 2015) de la consola de R Commander (R-project 2018). Se incluyó en el ajuste una estructura de media móvil [corARMA(p,q)] donde p representa a los enteros no negativos que especifican respectivamente el orden autorregresivo y q el orden promedio móvil de la estructura del modelo autorregresivo de media móvil (ARMA).

Cuadro 2 Modelo de crecimiento de Schumacher y variantes en la inclusión de efectos mixtos para árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Schumacher growth model and variants in the inclusion of mixed effects for B. buceras trees in tropical forests of Quintana Roo. 

At: altura total (m). d: diámetro normal (cm). y : parámetros a estimar. : efecto aleatorio. : término del error. e: base de los logaritmos neperianos. Criterios de clasificación dc, ClassCop y Congl: diámetro promedio de copa, clase de copa con intervalos de dos metros y por conglomerado, respectivamente.

La selección del modelo de mejor ajuste, se realizó al utilizar y comparar los valores del criterio de información de Akaike y el criterio de información Bayesiano, AIC y BIC, por sus siglas en inglés, los cuales consideran que el modelo con el valor más cercano a cero en estos criterios es el que infiere con mayor certidumbre la variable respuesta (Duran et al. 2002, Castaño-Santamaria et al. 2013, López et al. 2015), además de la significancia de sus parámetros y el valor más alto del coeficiente de determinación (R2) (Quevedo et al. 2010, García y Rapelli 2011, Corral-Rivas et al. 2014, Ercanli 2015).

Con la finalidad de visualizar la validez estadística del modelo seleccionado, se verificaron de forma gráfica los supuestos de regresión de normalidad de los residuales (Duran et al. 2002), homocedasticidad de residuales (García y Rapelli 2011) y la no autocorrelación de errores (independencia) (Tamarit et al. 2017). La precisión se verificó mediante el análisis grafico de la tendencia de las estimaciones y el sesgo absoluto () (Castaño-Santamaria et al. 2013).

Adicionalmente, para validar las estimaciones del mejor modelo, se emplearon 134 pares de datos de At-d para realizar una comparación entre la altura observada y los valores estimados como dos poblaciones independientes, mediante una prueba de t Student a un nivel de significancia de α=0,01 (Martínez et al. 2006).

RESULTADOS

La dispersión de la variabilidad individual (figura 2A) y por agrupación bajo el criterio dc (figura 2 B a F) de los pares de datos de At-d de los árboles de B. buceras, muestra que al agrupar la información por algún criterio de clasificación se reduce la heterogeneidad en los datos, dado que reduce la varianza en los diferentes niveles.

Figura 2 Variabilidad individual de At-d (A) y por grupos en dc (B a F) para árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Individual variability of At-d (a) and by groups in dc (b) for trees of B. buceras in tropical forests of Quintana Roo.  

En todos los casos los parámetros obtenidos fueron significativos, superiores al 99 % (P < 0,0003) y los errores estándar bajos (cuadro 3), además se observa que la asíntota de los modelos o la altura máxima alcanzada por la especie en estos bosques osciló entre los 10,88 m y los 13,84 m, mientras que el parámetro relacionado con la velocidad de crecimiento (b) presentó mayor variabilidad, por lo cual, se asume que es donde la inclusión del efecto mixto se ve reflejado de mejor forma (cuadro 3).

Cuadro 3 Resultados del ajuste estadístico del modelo de Schumacher para At-d de árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Results of the statistical fit of the Schumacher model for At-d of B. buceras trees in tropical forests of Quintana Roo. 

Phi: parámetro relacionado al efecto aleatorio incluido en el modelo.

La inclusión de efectos aleatorios en los modelos, produjo una mejora sustancial en los indicadores de bondad de ajuste, particularmente el R2 (cuadro 4); donde se observa que, de un valor inicial con mínimos cuadrados ordinarios (sin incluir efectos aleatorios) de R2 = 0,346, el modelo puede ser capaz de explicar más del 80 % de la variabilidad de los datos (R2 = 0,815) al realizar el ajuste con la inclusión del efecto mixto por conglomerado (modelo 7) (cuadro 4). Además, se presenta una disminución de los valores de AIC y BIC, a medida que aumenta el R2, lo cual es consistente para los dos modelos mejores (6 y 7), ya que sus valores son comparativamente menores, teniéndose una diferencia considerable entre el ajuste mediante mínimos cuadrados ordinarios y el modelo de efectos mixtos al agruparse por el criterio de conglomerado (cuadro 4).

Cuadro 4 Bondad de ajuste del modelo de Schumacher en forma tradicional y sus distintas variantes de inclusión de efectos mixtos para árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Goodness of fit of the Schumacher model in traditional form and its different variants of inclusion of mixed effects for trees of B. buceras in tropical forests of Quintana Roo. 

R2: coeficiente de determinación. AIC: Criterio de información Akaike. BIC: Criterio de información bayesiano.

El análisis gráfico del comportamiento predictivo de los modelos muestra que el modelo [6] es mejor (R2 = 0,74, AIC = 3.944,12, BIC = 3.968,64), con tendencia estable en las predicciones, y sin sub-estimar la altura como lo hace el modelo 7, ni sobre-estimarla para diámetros menores de 20 cm como en los modelos 2 y 3, así como en los diámetros mayores de 35 cm con los modelos 1, 3 y 4 (figura 3).

Figura 3 Comportamiento gráfico de la estimación de la altura total en función del diámetro normal con el modelo de Schumacher en sus distintas variantes de ajuste evaluadas para árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Graphical behavior of the estimation of the total height according to the normal diameter with the Schumacher model in its different fit variants evaluated for trees of B. buceras in tropical forests of Quintana Roo 

El modelo 6 seleccionado como el de mejor ajuste, cumple con los supuestos de regresión debido a que presenta una distribución normal de los residuos (figura 4A), homocedásticidad en los residuales sin tendencia visible (figura 4B) y sin problemas de autocorrelación de los errores, ya que las dos variables son independientes entre sí, por no presentar dependencia entre los diámetros al aumentar su dimensión (figura 4C), por lo cual, se asume como estadísticamente confiable. El sesgo al emplear esta expresión fue en promedio de -0,46 m.

Figura 4 Análisis grafico del cumplimiento de los supuestos de regresión para el modelo de Schumacher de At-d para árboles de B. buceras en bosques tropicales de Quintana Roo. Graphical analysis of compliance with the regression assumptions for the Schumacher model of At-d for B. buceras trees in tropical forests of Quintana Roo 

La comparación entre las estimaciones realizadas con el mejor modelo [6] y la muestra independiente bajo la hipótesis de igualdad de medias, muestran que no existe evidencia de que las medias de los datos reales y los estimados sean diferentes, ya que se obtuvo un valor de t = 1,977, P > |T| = 0,06 y un valor en la diferencia media significativa de 0,4309 a un nivel de confiabilidad del 99 % (P = 0,01).

DISCUSIÓN

La homogeneidad y reducción de la varianza en los diferentes niveles resultado de agrupar la información por criterios de clasificación en este trabajo es una opción adecuada para modelar la relación alométrica entre el diámetro y la altura, tal y como lo describen García y Rapelli (2011) al detallar el procedimiento de selección de modelos mixtos con niveles múltiples para modelar el crecimiento en At de Anoda cristata (L.) Schlecht.; y Temesgen et al. (2014) al aplicar la agrupación por estrato y modelar las relaciones At-d por árbol en 23 especies dentro de un bosque templado en el noreste de China.

La mejora en los valores de R2 al modelar bajo un tipo de clasificación e incluir dentro del modelo como un efecto aleatorio es congruente con lo que reporta Ercanli (2015) al comparar el ajuste de algunos modelos generalizados de At-d, donde el valor de R2 pasa de 0,86 al tener todos sus parámetros fijos dentro del modelo a 0,90 al incluir el efecto mixto por unidad de muestreo con información de remediciones para árboles de Fagus orientalis Lipsky en Kestel, Turquía; y a lo que reportan Corral-Rivas et al. (2014) al contrastar los ajustes mediante MCO y con el enfoque de MEM en el modelo de Chapman-Richards en su forma local para At-d para grupos de especies de los géneros Pinus y Quercus en Durango, México, donde la inclusión del efecto mixto mejora significativamente los resultados en este tipo de ajustes.

Aun cuando el modelo [5] presentó una tendencia adecuada a la información de At-d, por los mejores valores en los estadísticos de R2, y mayor verosimilitud reflejada en AIC y BIC las expresiones [6] y [7] fueron seleccionadas como las de mejor ajuste con base en los criterios expuestos por García et al. (2014), quienes señalan que el valor más bajo en los estadísticos AIC y BIC son debidos a la estructura que toman los componentes aleatorios y que resulta más adecuada, ya que hace más verosímil la regresión. Además de lo descrito por De los Santos-Posadas et al. (2006), los cuales mencionan que al generar niveles múltiples de clasificación en la información empleada compensa las diferencias en los grados de libertad en la estructura de los modelos ajustados.

Esta mejora en los resultados al incluir el efecto aleatorio en el ajuste, se debe en parte a que se deja de asumir que la variabilidad es constante en toda la muestra empleada, ya que esta se manifiesta agrupada y específica para cada nivel de clasificación (Quevedo et al. 2010, García y Rapelli 2011, Seoane 2014), situación que se ve reflejada en los valores del R2 y los criterios de información AIC y BIC.

En general, el efecto combinado del aumento en el valor del R2 y la disminución en AIC y BIC concuerdan con lo obtenido por Quevedo et al. (2010) quienes utilizaron un índice de eficiencia análogo del Pseudo-R2 con el enfoque de MEM de volumen total con corteza agrupados por categoría diamétrica en Tabebuia rosea (Bertol.) A. DC. en Venezuela; también, los resultados del presente trabajo concuerdan con los reportados por García y Rapelli (2011) al seleccionar un modelo no lineal mixto de niveles múltiples en un modelo de crecimiento para Austrocedrus chilensis. Por su parte, Jerez-Rico et al. (2011) encontraron diferencias evidentes al ajustar modelos de índice de sitio para Tectona grandis L. f. en Venezuela, pasando de un R2 de 0,58 al emplear mínimos cuadrados ordinarios a 0,98 al utilizar el ajuste por MEM.

La tendencia que resulta de la aplicación de modelos es semejante con la obtenida por Crecente-Campo et al. (2010) al ajustar modelos generalizados de At-d para Eucalyptus globulus Labill. en España; así como lo reportado por Calama y Montero (2004) al modelar la relación At-d para Pinus pinea bajo el enfoque de efectos mixtos. Además de que el modelo seleccionado como el mejor [6] cumple con los supuestos de regresión (Martínez-González et al. 2006) (figura 4) y es congruente con lo reportado por Crecente-Campo et al. (2010) al determinar una distribución normal en los modelos At-d ajustados con inclusión de efectos mixtos para árboles de Eucalyptus globulus en España; con lo de Juárez y Balzarani (2003) quienes después de analizar tres estructuras de covarianza en un modelo de crecimiento ajustada bajo el enfoque de MEM obtienen una distribución homocedástica en los residuales; y con lo mencionado por Milena et al. (2013) quienes al seleccionar el modelo At-d generalizado ajustado por MEM para Eucalyptus tereticornis Sm. se obtiene normalidad en los residuos y homocedásticidad de los residuales, mientras que la gráfica de autocorrelación parcial muestra un comportamiento lógico y la adecuada corrección de los errores correlacionados con la estructura del modelo autorregresivo de media móvil utilizada (ARMA) (P = 1, q = 0), de acuerdo con lo señalado por Martínez-González et al. (2006) y Tamarit et al. (2017) al ajustar un sistema de cubicación de volumen bajo el enfoque de MEM.

El sesgo promedio del modelo seleccionado ( = 0,46 m) fue inferior a los valores reportados por Milena et al. (2013) al ajustar diez modelos generalizados de At-d bajo MEM; y semejantes a los reportados por Ercanli (2015) al utilizar nueve modelos generalizados y modelar bajo modelos de efectos mixtos donde se hace una variación de 12 escenarios de muestreo, y coincide con Castaño-Santamaria et al. (2013) quienes reportan los menores sesgos en los modelos locales tanto al ajustarlos mediante MCO y con MEM.

CONCLUSIONES

Con la inclusión de efectos aleatorios (covariables) en el modelo de crecimiento de Schumacher y el empleo de criterio de clasificación o nivel, se mejoró significativamente el ajuste estadístico y las estimaciones de la altura total en función del diámetro normal para árboles de Bucida buceras en los bosques tropicales de Quintana Roo, México, donde el modelo con la forma At=12,423419∙ 𝑒 −6,029524∙ 𝑑 −1 +𝜀 al incluir la covariable de conglomerado resulto ser el mejor.

Al realizar la comparación de los resultados con la técnica de mínimos cuadrados ordinarios y los modelos de efectos mixtos se mejoró la calidad de los parámetros fijos haciéndolos más eficientes, porque sus errores fueron menores debido a su menor varianza, con lo cual, con este último ajuste se contribuyó a corregir la autocorrelación de los errores. Por otro lado, con los resultados obtenidos con el modelo de efectos mixtos en el ajuste se puede ver reflejado la inferencia del diámetro de copa y la distancia que influye en las condiciones de crecimiento y en los estadísticos en el modelo. Además de que los resultados de este estudio pueden ser empleados de manera confiable para estimar la altura en el levantamiento de información de un inventario forestal, solo con la medición del diámetro normal.

AGRADECIMIENTOS

Al Instituto Nacional de Investigaciones Forestales, Agrícolas y Pecuarias (INIFAP) por el otorgamiento del apoyo a capacitación y formación de personal investigador, y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por la beca número 733112

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Recibido: 13 de Noviembre de 2018; Aprobado: 29 de Julio de 2019

*Autor de correspondencia: adrian.hernandezr90@gmail.com

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