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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.21 n.5 La Serena  2010

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642010000500012 

Información Tecnológica Vol. 21(5), 87-98(2010) doi:10.1612/inf.tecnol.4360it.09

 

SECADO

 

Parámetros de Transferencia de Materia en el Secado de Frutas, sin Necesidad de Datos de Disminución de Volumen

 

Mass Transfer Parameters in Fruit Drying, without using Shrinkage Data

 

Sebastião R. Ferreira y Antônio R. S. Costa

Universidad Federal de Río Grande del Norte, Departamento de Ingeniería Química, Av. Salgado Filho 3.000, 59078-970 Natal, RN-Brasil (e-mail: ferreira@eq.ufrn.br, seba@ufrnet.br)


Resumen

Se desarrolló una metodología analítica para evaluar parámetros de transferencia de materia en el secado de frutas cilindricas, sin necesidad de conocer datos de disminución de volumen, pero admitiendo implícitamente disminución de su radio en el proceso R. Con el procedimiento se predice el coeficiente externo de transferencia de materia km, la difusividad efectiva del agua en frutos Def, el número de Biot Bi y el radio promedio Rm durante el secado. Para probar la metodología es necesario obtener datos de masa de agua en una fruta MA versus tiempo t, y sus dimensiones características en el comienzo del proceso. Los valores obtenidos de Bi, Def y km se ajustan bien a otros encontrados en la literatura, calculados con un método numérico. La metodología desarrollada puede ser empleada para evaluar parámetros de secado con buena exactitud, pero sin necesidad de obtener datos experimentales de disminución de volumen.

Palabras clave: parámetros de transferencia de materia, difusividad efectiva del agua, transferencia de materia, secado de frutas, modelado matemático.


Abstract

An analytical methodology was developed to determine mass transfer parameters during cylindrical fruit drying, without the need for shrinkage data, but implicitly considering radius shrinkage R during the drying process. With the method one can simultaneously evalúate the external mass transfer coefficient km, the effective water diffusivity in fruit Def, the Biot number Bi and the average radius Rm during drying. To test the methodology, experimental data of the water mass in fruit MA versus time t, and its characteristic dimensions at the start of process were needed. The valúes obtained for Bi, Def and kmwere in good agreement with valúes found in the literature, calculated by a numerical method. The proposed methodology can be used to estímate drying parameters with good accuracy without the need of shrinkage data.

Keywords: mass transfer parameters, effectively water diffusivity, mass transfer, fruitdrying, mathematical modeling.


 

INTRODUCCIÓN

A partir de modelos matemáticos de secado de frutas surgen naturalmente parámetros que influyen en el proceso, tales como el coeficiente externo de transferencia de materia km(m/s), la difusividad efectiva del agua en una fruta Def(m2/s) y el número de Biot Bi(adim.). Uno de los más conocidos modelos de secado es el de Luikov (1966), que está basado en la termodinámica de los procesos irreversibles (Abalone et al., 2001; Luikov, 1966; Pandey etal., 1999; Wu e Irudayaraj, 1996).

En algunas investigaciones están contemplados modelos de secado de frutos (Lima, 1999) así como de secador (Karim y Hawlader, 2005a, b; Mabrouk et al., 2006). Los modelos para el fruto y secador están acoplados a través de flujos de materia, energía y cantidad de movimiento en la inferíase fruta/aire. Lima (1999) analizó el secado de banana y reprodujo parte de su investigación en un artículo (Lima et al., 2002). En su trabajo original (Lima, 1999) desarrolló modelos bidimensionales, analíticos y numéricos, para simular la difusión de agua en sólidos, los cuales fueron empleados para describir el secado de banana. En su investigación se destaca el denominado modelo (III), en el cual usa condición de contorno convectiva, fenómenos simultáneos de transferencia de humedad y disminución de volumen del fruto. En su modelo (III) el citado autor admitió, entre otras consideraciones, que: a) El secado ocurre bajo condición de contorno convectiva, con humedad dependiente de la posición y del tiempo, en un sólido esferoidal; del cual se presenta un esquema en la Fig. 1; b) El número de Biot es admitido como variable en el secado; el cual es definido por la Ec.(3); y c) La disminución de volumen es linealmente proporcional a la pérdida promedio de humedad del sólido.

Fig. 1: Características de un sólido esferoidal (Lima, 1999; Teruel et al., 2001).

Según Lima, el modelo (III) es el más realista de los analizados por él, dando resultados confiables para los parámetros transferencia de materia; porque están incluidos más efectos físicos que inciden en la cinética de secado, comparado con otros modelos de citado autor (Lima, 1999; Lima etal., 2002). En la Fig. 1, que representa la mitad de la longitud de una banana, están destacados los sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z) y esferoidal (μ, φ, ω). Se presentan el semieje menor y mayor, L1y L2, respectivamente, y la longitud focal L, que es calculada por la ecuación (Lima, 1999)

El volumen de un sólido esferoidal, con L1 < L2, es calculado por la ecuación (Lima, 1999):

El número de Biot de transferencia de materia BiL, para un sólido esferoidal de longitud característica L, como el de la Fig. 1, es dado por (Lima, 1999):

Una banana es un sólido esferoidal, pero si son cortadas sus dos puntas, se obtiene aproximadamente un cilindro finito y, en general, el valor de L1 es casi igual al radio de una banana R, y L es casi igual a la mitad de su longitud. Para una banana, admitida como cilindro finito, existen dos números de Biot de transferencia de materia; uno para la longitud L, BiL, evaluado con la Ec.(3) y otro para el radio R o la longitud L1 R, BiR, calculado por la Ec.(6). Para un cilindro infinito sólo hay Biot para R o L1. Para comparar un modelo de transferencia de materia de cilindro infinito con un modelo de sólido esferoidal, hay que dividir sus números de Biot, BiR y BiL, incluyendo sus dimensiones R y L, obteniendo así el orden de magnitud de cada Bi. Lo mismo debe ser realizado para los coeficientes km. Para relacionar modelos de transferencia de materia de cilindro infinito, uno analítico con otro numérico, se puede comparar directamente el Bi radial BiR de un modelo con el BiR de otro modelo; lo que simplifica el análisis en relación a comparar con sólido esferoidal. Similares comparaciones pueden ser realizadas entre un modelo de cilindro finito con uno infinito o entonces uno de cilindro finito con uno de sólido esferoidal etc.

Karim y Hawlader (2005a, b) desarrollaron un modelo de secado de frutas, prediciendo su temperatura y humedad. Como ellos admitieron disminución de volumen, la difusividad Def resultó dependiente del contenido acuoso y de la temperatura (Bird et al., 2002; Crank, 1976), y disminuyó durante el secado. Mabrouk et al. (2006) emplearon un modelo numérico para predicción de la transferencia de materia y energía de productos granulares en un secador tipo túnel. Como la capa usada de producto (uva) era de pequeño espesor, ellos admitieron que no existía gradiente de temperatura y humedad, y obtuvieron un modelo simplificado basado en una capa delgada. Costa (2008), desarrolló un modelo de secado de un cilindro infinito, basándose en la ecuación de Fick. Ferreira y Costa (2009), presentaron un modelo de secado de banana, admitiendo disminución de radio del fruto y emplearon datos de disminución de volumen de la literatura (Lima, 1999; Queiroz, 1994), para probar su modelo. Ferreira y Costa (2009) evaluaron Bim, Def y km, empleando un programa de regresión no lineal, usando datos de masa de agua y radio de una fruta versus tiempo. Concluyeron que los parámetros calculados eran del mismo orden de magnitud que los evaluados por Lima (1999).

Una de las dificultades encontradas en el modelado de secado es la obtención de parámetros de transferencia de materia y energía, tales como el coeficiente convectivo de transferencia de calor, hConv(Wm-2oC-1), Bim, Def y km, que representen bien el fenómeno. Es común emplear correlaciones o experimentos por separado para calcularlos o usar métodos numéricos, para analizar como ellos se comportan en función de variables del proceso. Para resolver simultáneamente las ecuaciones de transferencia de materia y energía, Mariani et al. (2008) emplearon correlaciones para hconv, en vez de calcularlo automáticamente del método numérico usado. En general, esas correlaciones sólo son válidas para una geometría dada, en función de los números de Nusselt, Prandtl y Reynolds (Bird et al., 2002).

El hconv puede ser evaluado de ensayo por separado, por ejemplo, con un cilindro de aluminio, de iguales dimensiones y en condiciones similares que una fruta dada, resultando para el cilindro metálico que Bic = hconvR/kAl—► 0. Como la conductividad térmica del aluminio kAi es muy grande, en general, se cumple que Bic → 0 y hconv es calculado de la curva de T versus t, en el cilindro de aluminio, con un modelo sencillo de transferencia de calor. El hconv obtenido para el cilindro metálico puede ser usado para una fruta, en las condiciones citadas. Srikiatden y Roberts (2008) evaluaron hconv, con un procedimiento similar al citado, para calcular Def de agua en papas y zanahorias. Kaya et al. (2008) obtuvieron el coeficiente local hconv de experimentos, con flujo de calor en la superficie de kiwi y calcularon km, con la analogía de Chilton y Colburn; entre el espesor de capa límite de transferencia de calor y materia. Lima (1999) evaluó km en el secado de banana, ajusfando un modelo matemático, usando datos de Queiroz (1994).

En el presente trabajo se propone una metodología para evaluar parámetros tales como Bi, Def, km y Rm, sin necesidad de conocer datos de cambio del radio de una fruta cilindrica en su secado, pero sólo conociendo principalmente sus dimensiones iniciales y datos de MA versus t. Los parámetros Bi, Def, Rm, MAo y MA∞ son mantenidos libres en los cálculos, siendo los dos últimos, respectivamente, la masa de agua en una fruta en el inicio del secado y a tiempo infinito. Los parámetros calculados con el método analítico de cilindro infinito, son comparados con los de otra metodología analítica de cilindro infinito, pero usando datos de disminución de volumen (Ferreira y Costa, 2009), y con un método numérico, empleando datos de disminución de volumen, de un sólido esferoidal (Lima, 1999).

MODELO PARA SECADO DE UN CILINDRO INFINITO

El modelo de secado empleado en el presente artículo ya fue discutido en la literatura (Ferreira y Costa, 2009). Los citados autores analizaron la relación entre la difusividad de agua en una fruta Def(m2/s) y la difusividad térmica α(m2/s), dada por el número de Luikov Lu = (1/α)/(1/Def) = (resistencia interna a la difusión de calor)/(resistencia interna a la difusión de materia). Por ejemplo, para secado en aire a 29,9 °C, de banana de conductividad térmica k = 0,481 Wm-1ºC-1, densidad p = 980 kg/m3, calor específico Cp = 3.346 Jkg-1ºC-1 y Def = 1,63.10-10 m2/s, se calcula que Lu = (DefρCp)/k = 0,00111 « 1. Como se cumple que Lu « 1, la transferencia interna de materia domina las transferencias simultáneas de calor y materia. Con las consideraciones realizadas, la ecuación de difusión de Fick puede ser empleada como la ecuación diferencial básica para un análisis simplificado.

La ecuación de Fick para difusión radial en una fruta, admitida como siendo un cilindro infinito, así como las condiciones de contorno, las cuales son condición de contorno convectiva, condición de simetría radial y masa inicial de agua MA0(g), fueron presentadas y discutidas en otro trabajo (Ferreira y Costa, 2009). La solución de la ecuación de Fick, que da la masa de agua en una fruta MA(t), con las condiciones de contorno mencionadas, está dada por las ecuaciones a continuación (Crank, 1976; Luikov, 1968):

Siendo Bn un parámetro, t(s) el tiempo y un(adim.) los autovalores, para condición de contorno convectiva. Con la Ec.(4) se calcula MA versus t, en función de Biot en el radio de un cilindro infinito BiR, de la Ec.(6). De la Ec.(4) también se pueden evaluar BiR, Def, MA0, MA∞ y un radio promedio Rm, si fueren conocidos MA versus t. Para realizar cálculos con la Ec.(4), son necesarias las ecuaciones presentadas a continuación:

La Ec.(7) es la ecuación de autovalores μn, la cual ayuda en la obtención de MA de la Ec.(4). Las Ees.(8) y (9) son, respectivamente, la función de Bessel de primera especie, de orden cero J0n) y uno Jin).

CÁLCULO DE PARÁMETROS DEL MODELO DE SECADO

Es presentada una metodología para evaluar parámetros, tales como BiR, Def, MA0, MA∞ y Rm, basándose en la Ec.(4); y enseguida BiLy km. Para realizar cálculos con la Ec.(4) con sólo el primer autovalorio,!, es mejor emplear una correlación en vez de resolver la Ec.(7). Para cumplir con tal objetivo, son usadas las ecuaciones a continuación, de μ1 versus Bi, presentadas por Schwartzberg (1981), para cilindro infinito:

El rango de Biot presentado por Schwartzberg (1981) para las Ees. (10) y (11) es, respectivamente, Bi < 3 y Bi > 5; no contemplando 3 < Bi < 5. Las Ees.(10) y (11) fueron evaluadas por los autores del presente artículo, que encontraron que, en general, ellas dan desviaciones menores que 11,5 %l en relación a la Ec.(7), respectivamente, para Bi < 2 y Bi > 2. Los cálculos con el modelo de la sección anterior se simplifican mucho, en parte, por ser empleada una correlación como la Ec.(10) o (11). Las masas MAOy MA∞ son parámetros libres en el presente trabajo, pero no lo fueron en el de Ferreira y Costa (2009). Éste artificio elimina la necesidad de conocer datos de disminución de volumen, mejorando la precisión de cálculo de parámetros; cuando se usa sólo el primer término de la Ec.(4). Los valores de MAo y MA„ pueden diferir de los experimentales o calculados por correlaciones, pues son parámetros de ajuste.

El procedimiento para evaluar los parámetros BiR, Def, MA0, MA∞, Rm, BiL y km = kL, es:

Son obtenidos datos experimentales de MA versus t, el radio de una fruta al comienzo del proceso R0≈ Lio y su semieje mayor L20.

Es reemplazado μ1 en el primer término de la Ec.(4), por ejemplo, ^ de la Ec.(11), si BiR > 2. La sustitución es realizada tanto en el factor preexponencial de la Ec.(4), dado por B 1 de la Ec.(5), así como dentro del exponencial, reemplazando el autovalor al cuadrado, es decir, elevando la Ec.(11) al cuadrado, μ12. Después de las citadas sustituciones, resulta del primer término de la Ec.(4):

Son correlacionados MA versus t, de la Ec.(12), con un programa de regresión no lineal, obteniendo BiR, Def, MA0, MA∞ y Rm. Rm es un promedio para el secado y es obtenido naturalmente del programa.

Es evaluada la longitud focal en el inicio del proceso de secado L0, empleando datos de L10 y L20, el semieje menor y mayor, respectivamente, con la Ec.(1):

Se considera que, en el comienzo del proceso, el semieje menor es casi igual a L10 ≈ Ro y que el representativo de la etapa final de secado es L1f Rm; siendo Rm obtenido de la Ec.(12). Se hacen las simplificaciones citadas porque no se emplea una ecuación de R versus MA, para evaluar el cambio de R en el proceso. Se evalúa el semieje mayor del final del secado L2f, por:

De la Fig.1 se obtiene L2f = (L20/L10)L1f, que difiere de L2f de la Ec.(14); pero la Ec.(14) fue elegida para cálculo porque se obtiene mejor ajuste empleándola en la presente investigación, especialmente para Bi al final del proceso BiLf, en vez de usar L2f = (L20/L10)L1f.

Se evalúa la longitud focal Lf al final del secado, con L1f Rm obtenido de correlación de la Ec.(12) y L2f de la Ec.(14), resultando:

Es dividido el Biot de cilindro infinito BiR = kmRm/Def de la Ec.(6), por el de sólido esferoidal BiL = kmL/Def de la Ec.(3), obteniendo BiL de un sólido esferoidal en el inicio BiLo y final del proceso BiLf, dados por las ecuaciones a continuación, con L0y Lfde las Ees.(13) y (15), respectivamente, y BiRy Rmde la Ec.(12):

Es calculado el coeficiente externo de transferencia de materia de la Ec.(3), en el inicio km0= kL0 y final del secado kmf= kLf, de un sólido esferoidal, con BiL0 y BiLf, de las Ees.(16) y (17), respectivamente, L0 y Lf de las Ees.(13) y (15), respectivamente, y Def de la Ec.(12):

Muchos experimentos de secado son conducidos a tiempos largos, resultando en grandes valores del número de Fourier promedio, Fom = Deftm/Rm2, en general Fom > 0,5, con lo que es suficiente usar sólo el primer término de la Ec.(4). Para mejorar el ajuste de parámetros, se puede aumentar la cantidad de términos empleados de la Ec.(4), usando μ1 en el primer término para calcular BiR y Def, y en los otros términos incluyendo parámetros F, G, H e I, tal como es presentado en la ecuación a continuación, para BiR > 2. En éste artículo no fue realizado lo citado con anterioridad, pues con el programa de regresión empleado sólo es posible escribir ecuaciones con hasta 94 cifras; por ejemplo, 2,4048 fue escrito como 2,4. Pero, Lima (1999) correlacionó datos, de MA versus t, con una serie de tres términos.

Se puede obtener una ecuación de cálculo de Def para la situación límite de Bi → ∞; que usando el primer término de la Ec.(4) o de la Ec(12), resulta en la ecuación presentada a continuación, después de evaluar Mi = 2,4048 de la Ec.(7) o (11) y el parámetro Bi = 4/(2,4048)2 = 0,6917 de la Ec.(5):

La Ec.(21) es un límite, por ejemplo, para el cálculo de la difusividad Def y sólo es válida cuando Bi —► ∞. La Ec.(21) debe ser usada con cautela y solamente cuando no hay resistencia externa a la transferencia de materia. Por lo tanto, los resultados obtenidos de la Ec.(21) sólo se acercan a la realidad de un proceso de secado, si Bi → ∞; y para un Fourier promedio de aproximadamente Fom = Deftm /Rm2 > 0,5.

Para relacionar la metodología analítica propuesta de cilindro infinito, con un método numérico de cilindro infinito, se compara directamente el Bi radial BiR de un modelo con el BiR del otro. Es decir, el BiR calculado por regresión de la Ec.(12) es el de la etapa final, BiR = BiRf. El del comienzo es evaluado con el radio inicial R0, BiR0 = BiRfR0/Rm km = kmf es calculado con BiRf, Def y Rm, resultando en kmf = BiRfDef/Rm, así como km0 = BiRODef/Ro. Si es empleado éste procedimiento, muchas de las ecuaciones discutidas previamente no son necesarias para los cálculos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Son realizados cálculos con la metodología propuesta, usando datos de Queiroz (1994), Lima (1999) y Lima et al. (2002); algunos de los cuales están reproducidos en la Tabla 1.

Tabla 1: Parámetros del aire y trozo de banana de ensayos de secado (Lima, 1999; Queiroz, 1994).

En dicha tabla son presentados datos de humedad de equilibrio Ue(en base seca) = MAe/Ms, siendo MAe masa de agua en un trozo de fruta en estado de equilibrio, Ms masa de sólidos, dimensiones iniciales de una banana L10y L20, y tiempo de secado t, para experimentos de Queiroz (1994); excepto L2, que fue evaluada por Lima (1999). Los subíndices (0), (f) y (e) son, respectivamente, datos en el inicio, final y en condición de equilibrio, es decir, a t → ∞; UR es la humedad relativa del aire y v(m/s) su velocidad.

Se resuelve un ejemplo con el ensayo (4) de la Tabla 1, para ilustrar cómo usar la metodología propuesta. Los resultados obtenidos para todos los ensayos de la Tabla 1 son comparados con los de Lima (1999), empleando un método numérico, en el cual una banana es un sólido esferoidal, con disminución de L1y L2 en el proceso. Además son comparados con los cálculos de Ferreira y Costa (2009), que desarrollaron un modelo analítico con disminución de R, usando una ecuación para evaluar R versus MA. Se emplean datos experimentales de Queiroz (1994), de Y = (MA - MA∞)/(MAo - MA∞) versus t, y de ellos se obtiene MA = MA∞ + (MAo - MA∞)YQueiroz- MAo y MA∞ fueron calculadas por Ferreira y Costa (2009), de datos de Queiroz (1994). Ferreira y Costa (2009) partieron de ecuaciones de Y versus t, con tres términos, correlacionadas por Lima (1999). Acorde al procedimiento propuesto de evaluación de BiR, Def, MAo, MA∞, Rm, BiL y km, para el ensayo (4) de la Tabla 1, se debe:

i) Obtener MA versus t de datos de Queiroz (1994), de Y = (MA - MA∞)/(MAo - MA∞) versus t, reordenando la ecuación anterior, obteniendo la ecuación a continuación, con MAo y MA∞ calculados por Ferreira y Costa (2009), de datos de Queiroz (1994). Los datos de Y, t, MAo, MA∞, así como MA calculados con la Ec.(22), de to = 0 h a tf = 35,3 h, están presentados en la Tabla 2.

Tabla 2: Masa de agua versus tempo, para un trozo de banana del ensayo (4).

ii) Usar MA(g) y t(h) de las columnas (2) y (3) de la Tabla 2, correlacionando x = t versus y = MA de la Ec.(12), empleando, por ejemplo, un programa de regresión no lineal tal como el Lab Fit (Silva y Silva, 2003), manteniendo como parámetros libres BiR, Def, MAo, MA∞ y Rm, resultando en:

Los parámetros de regresión de la Ec.(23), que están presentados en la Tabla 3, son A = BiR = 3,182, del cual se obtiene μ1= 1,817 de la Ec.(11) y B1 = 0,914, B = Def= 0,2676.10-5 m2/h = 7,43.10-10 m2/s, C = Rm = 0,01055 m, D = MA- = 1,178 g, E = MA0 = 47,05 g, que sustituidos en la Ec.(23), da:

Las Ees.(22) y (24) son presentadas en la Tabla 4, así como las ecuaciones para los otros ensayos.

iii) El radio promedio del ensayo 4 del presente trabajo, Rm = 0,01055 m difiere en -2,7 % de Rm = 0,01084 m calculado al tiempo promedio tm = (35,3 h)/2 = 17,65 h, por Ferreira y Costa (2009), con una ecuación para R versus MA. La difusividad Def = 0,2676.10"5 m2/h = 7,43.10-10 m2/s difiere en 2,5 % de la Def = 7,25.10-10 m2/s de Lima (1999), del ensayo (4) de la Tabla 5 y modelo (III). El radio Rm = 0,01055 m, el Bi en el radio de un cilindro infinito BiR = 3,182 y Def= 7,43.10-10 m2/s, son empleados en los cálculos a continuación, para obtener BiL y km, en el inicio y final del secado, de un trozo de banana con forma de un sólido esferoidal.

iv) Evaluar la longitud focal en el inicio del secado L0, con datos del ensayo 4 de la Tabla 1, para L10 ≈ Ro = 0,01530 m y L20 = 0,05897 m, el semieje menor y mayor, respectivamente, con la Ec.(13):

v) Calcular el semieje mayor, de la etapa final del proceso L2f , de la Ec.(14), con L0 de la Ec.(25), el radio promedio L1f ≈ Rm = 0,01055 m y L10 ≈ Ro = 0,01530 m, del ensayo 4 de la Tabla 1:

L2f =L0Rm/R0 = L0L1f/L10 = (0,05695 m)0,01055m/ 0,01530 m = 0,03927 m                              (26)

vi) Evaluar la longitud focal Lf del final del secado, con la Ec.(15), con datos de L1f≈ Rm = 0,01055 m y L2f = 0,03927 m de la Ec.(26), resultando en:

vii) Calcular el Bi de un sólido esferoidal en el inicio y final del proceso BiL0 y BiLf, respectivamente, con las Ees.(16) y (17), L0 y Lf de las Ees.(25) y (27), respectivamente, BiR = 3,182 y Rm = 0,01055 m:

BiL0 = BiRL0 /Rm = (3,182)0,05695 m /0,01055 m = 17,18                                                                 (28)

BiLf =BiRLf/Rm = (3,182)0,03783 m/0,01055 m = 11,41                                                                   (29)

Los números de Biot BiL0 = 17,18 y BiLf= 11,41 délas Ecs.(28)y(29), difieren, respectivamente, en-2% de BiLf= 17,52 y 2,4% de BiLf= 11,14, del ensayo (4) de la Tabla 5 y modelo (III) de Lima.

viii) Calcular el coeficiente externo de transferencia de materia para el sólido esferoidal, en el inicio kL0 y final del secado kLf, respectivamente, con las Ees.(18) y (19), BiL0 y BiLf, de las Ees.(28) y (29), respectivamente, L0 y Lf de las Ees.(25) y (27), respectivamente, y Def = 7,43.10-10 m2/s:

kL0=BiL0Def/L0=17,18(7,43.10-10m2/s)0,5695m = 22.42.10-8 m/s                          (30)

kLf =BiLfDef/Lf = 11,41(7,43.10-10m2/s)/0,03783m = 22,42.10-8 m/s                      (31)

Los coeficientes kL0 y kLf difieren en 0,5 % de los kL0 y kLf = 22,3.10-8 m/s de Lima, del ensayo (4) de la Tabla 5. En la Tabla 3 se presentan los principales resultados del actual artículo para los ensayos (1) al (6); de igual manera a la desarrollada para el ensayo (4). Son usados datos de Y versus t así como otros datos de Queiroz (1994), para obtener ecuaciones similares a la Ec.(22); siendo presentadas ecuaciones equivalentes a las Ees.(22) y (24) en la Tabla 4. Las ecuaciones similares a la Ec.(22), con auxilio de la Ec.(23), son usadas para evaluar parámetros y obtener ecuaciones equivalentes a la Ec.(24).

Tabla 3: Parámetros evaluados con el modelo propuesto para los ensayos E (1) al (6).

Tabla 4: Ecuaciones auxiliares de cálculo

Tabla 5: Parámetros obtenidos por Lima (1999), Ferreira y Costa (2009) y en la actual investigación.

Comparando las Def de la Tabla 5, calculadas por Lima (1999) con el modelo (III) y las del actual trabajo, resulta en una desviación promedio Xprom = -1,4 % y estándar σn-i = 2,4 %. Para los coeficientes de transferencia de materia de un sólido esferoidal kL, se obtiene Xprom = -3,2 % y σn-i= 3,6 %, y para los Bi de un sólido esferoidal BiL, resulta en Xprom = 1,3 y σn-i = 4,3%. Comparando Def, kLy BiL de Lima (1999) con el modelo (III) y los de Ferreira y Costa (2009), resultan, respectivamente, en Xprom = -6,1 % y σn-i = 10,3%, Xprom = -10,8% y σn-i =4,3%, y Xprom = -4,0 % y σn-i = 10,4%. Es mejor el ajuste de parámetros del presente trabajo en relación al de Ferreira y Costa (2009), usando como referencia los cálculos numéricos de Lima (1999). En el actual artículo se emplean menos parámetros experimentales que en el de Ferreira y Costa (2009) o de Lima (1999). Tampoco se necesitan de correlaciones para evaluar parámetros de transferencia de materia en la presente investigación ni en el de Ferreira y Costa (2009).

Los números de Biot para cilindro infinito evaluados en éste trabajo están en el rango 3,18 ≤ BiR ≤ 6,35, acorde a los resultados presentados en la Tabla 3; siendo adecuado emplear la Ec.(11) para calcular μ1 pues todos BiR > 2. Todos ésos Bi están dentro del rango de Bi intermedio, 0 ≤ Bi ≤ 100, es decir, en el cual hay resistencia interna y externa a la transferencia de materia, acorde a los criterios propuestos en el libro de Luikov (1968). El rango de Bi de sólido esferoidal de la Tabla 3 es 11,41 ≤ BiL ≤ 35,71.

Cuando se calcula el valor del semieje mayor del final del proceso L2f, de la Ec.(14), es decir, a partir de L2f≈(L0/Ro)Rm y Lf por la Ec.(15), está implícito que ocurre cambio de R, así como de las dimensiones L1, L2 y L en el secado. No es necesario conocer datos de disminución de dimensiones de un trozo de banana, pero se supone que ocurre cambio de dichas dimensiones, acorde a las relaciones presentadas entre L2f, L0, Lfy R. El cambio en R es obtenido de la correlación de datos de MA versus t, delaEc.(12)o (24), resultando en un radio promedio Rm, como el presentado en la Ec.(23) o (24). Se puede evaluar el radio R versus MA de un trozo de fruta, con la metodología del presente artículo. A partir de una ecuación del tipo R = a + bMA, se calculan (a) y (b), haciendo a t = 0 h, R = R0 y MA = MA0, y a tiempo promedio t = tm, que para el ensayo (4) es tm = (35,3/2) h = 17,65 h de la Tabla 1, R = Rm y MA = MA(tm); siendo el Rm obtenido de la Ec.(12) o (23) y MA(tm) a t = tm de la Ec.(24). Los valores de radio R calculados con el procedimiento descrito son similares a los evaluados por Ferreira y Costa (2009).

Facilita la evaluación de los parámetros con un programa de regresión, A = BiR, B = Def, C = Rm, D = MA∞ y E = MA0, de la Ec.(12), y el cálculo de BiL y km, si se conoce el rango de cada uno de ellos o se dispone de valores obtenidos por otros investigadores. Por ejemplo, Def está aproximadamente en el rango 10"10 < Def(m2/s) < 10-9 y km en el rango 10-8 < km(m/s) < 10"7, para los ensayos (1) al (6), acorde a los cálculos de Lima (1999). Rm puede ser evaluado con la metodología del párrafo anterior, E = MA0 del contenido acuoso de una banana, que es de aproximadamente 75 %, y para D = MA∞ puede ser asignado un valor mucho menor que MA0. Cuando se dispone de datos experimentales de MA versus t, otra opción de cálculo de los parámetros citados, es minimizar el cuadrado de las desviaciones de MA versus t, así como el promedio de sus desviaciones; como fue realizado en el presente trabajo.

CONCLUSIONES

Los parámetros Def, BiL y km evaluados con la metodología del presente trabajo, se ajustan mejor a los calculados por Lima (1999) en su modelo (III), usando un método numérico, que los resultados de Ferreira y Costa (2009). Los parámetros BiL, BiR, Def, km, MA0 y MA∞ son obtenidos naturalmente del método desarrollado, sin necesidad de experimentos por separado para calcularlos ni de correlaciones para evaluarlos y tampoco de datos de disminución de las dimensiones de un trozo de banana en su secado.

La disminución de volumen puede ser admitida en modelos de secado de frutas, pues resultan en BiL, BiR, Def y km que, a veces, representan mejor el fenómeno, que en modelados de volumen constante (Ferreira y Costa, 2009; Lima, 1999). Asimismo es posible evaluar parámetros de secado de frutas sin que esté explícita su disminución de volumen y sin conocer datos de tal disminución de dimensiones, pero que representen bien el fenómeno, como se demostró con la metodología de la presente investigación.

REFERENCIAS

Abalone, R., A. Gastón y M.A. Lara; Simulación Numérica del Proceso de Secado de un Material Anisotrópico, Engenharia Térmica: 1, 47-55 (2001).        [ Links ]

Bird, R.B., W.E. Stewarty E.N. Lightfoot; Transport Phenomena, John Wiley, New York, USA (2002).        [ Links ]

Costa, A.R.S.; Sistema de Secado Solar para Frutos Tropicales y Modelado del Secado de Banana en un Secador de Columna Estática, Tesis doctoral, UFRN - Universidad Federal de Río Grande del Norte, Natal, Brasil (2008). (En portugués y disponible en www.ufrn.br.)        [ Links ]

Crank, J.; The Mathematics of Diffusion, Clarendon Press, Oxford, England (1976).        [ Links ]

Ferreira, S.R. y A.R.S. Costa; Parámetros de Transferencia de Materia en el Secado de Frutas, Información Tecnológica: 20(2), 89-104 (2009).        [ Links ]

Karim, Md.A. y M.N.A. Hawlader; Drying Characteristics of Banana: Theoretical Modelling and Experimental Validation, Journal of Food Engineering: 70, 35-45 (2005a).        [ Links ]

Karim, Md.A. y M.N.A. Hawlader; Mathematical Modelling and Experimental Investigation of Tropical Fruits Drying, International Journal of Heat and Mass Transfer: 48, 4914-4925 (2005b).        [ Links ]

Kaya, A., O. Aydm y I. Dincer; Experimental and Numerícal Investigation of Heat and Mass Transfer During Drying of Hayward Kiwi Fruits (Actinidia Deliciosa Plañen), Journal of Food Engineering: 88, 323-330 (2008).        [ Links ]

Lima, A.G.B., M.R. Queiroz y S.A. Nebra; Simultaneous Moisture Transport and Shrinkage During Drying ofSolids with Ellipsoidal Configuration, Chemical Engineering Journal: 86, 85-93 (2002).        [ Links ]

Lima, A.G.B.; Fenómeno de Difusión en Sólidos Esferoidales Prolatos. Estudio de Caso: Secado de Banana, Tesis doctoral, UNICamp - Universidad Estadual de Campiñas, Facultad de Ingeniería Mecánica, Campiñas, Brasil (1999). (En portugués y disponible en http://libdigi.unicamp.br/; el código del trabajo es vtls000188465.)        [ Links ]

Luikov, A.V.; Analytical Heat Diffusion Theory, Academic Press, New York, USA (1968).        [ Links ]

Luikov, A.V.; Heat and Mass Transfer in Capillary Porous Bodies, Pergamon Press, New York, USA (1966).        [ Links ]

Mabrouk, S.B., B. Khiari y M. Sassi; Modelling of Heat and Mass Transfer in a Tunnel Dryer, Applied Thermal Engineering: 26, 2110-2118 (2006).        [ Links ]

Mariani, V.C., A.G.B. Lima y L.S. Coelho; Apparent ThermalDiffusivity Estimation ofthe Banana During Drying Using Inverse Method, Journal of Food Engineering: 85, 569-579 (2008).        [ Links ]

Pandey, R.N., S.K. Srivastavay M.D. Mikhailov; Solutions of Luikov Equations of Heat and Mass Transfer in Capillary Porous Bodies Through Matrix Calculus: a NewApproach, International Journal of Heat and Mass Transfer: 42, 2649-2660 (1999).        [ Links ]

Queiroz, M.R.; Estudio Teórico-experímental de la Cinética de Secado de Bananas, Tesis doctoral, UNICamp - Universidad Estadual de Campiñas, Facultad de Ingeniería Mecánica (1994). (En portugués y disponible en http://libdigi.unicamp.br/; el código del trabajo es vtls000082363.)        [ Links ]

Schwartzberg, H. G.; Mathematical Analysis ofthe Freezing and Thawing of Foods, AIChE Summer National Meeting, Detroit, Michigan (1981).        [ Links ]

Silva, W.P. y C.M.D.P.S., Silva; LAB Fit Ajuste de Curvas (Regresión no Lineal y Tratamiento de Datos) v.7.2.14c (2003). (En portugués y disponible en http://www.angelfire.com/rnb/labfit/index_p.htm.)        [ Links ]

Srikiatden, J. y J.S. Roberts; Predicting Moisture Profilesin Potato and CarrotDuring Convective HotAir Drying Using Isothermally Measured Effective Diffusivity, Journal of Food Engineering: 84, 516-525 (2008).        [ Links ]

Teruel, B., L.A. Cortez, P. Leal y A.G.B Lima; Estudio Teórico del Enfriamiento de Frutas de Distintas Geometrías con Circulación Forzada de Aire, Ciencia e Tecnología de Alimentos: 21 (2), 228-235, mayo-agosto (2001). (En portugués.)        [ Links ]

Wu, Y. y J. Irudayaraj; Analysis of Heat, Mass and Pressure Transfer in Starch Based Food Systems, Journal of Food Engineering: 29, 399-414 (1996).        [ Links ]

Recibido Sept. 11, 2009;

Aceptado Nov. 20, 2009;

Versión Final recibida Dic. 29, 2009