Información Tecnológica-Vol. 17 N°2-2006, pág.: 51-60

METODOS NUMERICOS

Obtención de las Fuerzas Equivalentes en el Elemento Barra 2D en Régimen Elastoplástico

Determination of the Fixed-end Forces in a 2D Beam Element with Elastoplastic Regime

Antolín L. Ibán, José M. García y Luís I. Mercado
Grupo de Investigación en Mecánica de Sólidos y Estructuras, Universidad de Valladolid,
Paseo del Cauce s/n, 47011 Valladolid-España (e-mail: ali@eis.uva.es, teran@uva.es; luimer@eis.uva.es)

Resumen

Se determinan mediante un procedimiento general y original las fuerzas equivalentes en el elemento finito barra 2D con comportamiento elastoplástico. Se estudia la barra de Navier-Bernoulli con sección rectangular, se supone un modelo de plasticidad súbita concentrada sólo en los extremos y la función de plastificación, basada en el criterio de von Mises, depende de la combinación de esfuerzos axil, cortante y momento flector. Se muestran resultados para la barra con uno o los dos extremos plastificados sometida a carga puntual central (transversal y longitudinal) y para carga transversal uniformemente distribuida. En los resultados se puede observar que la fuerza transmitida a los extremos, equivalente a la carga interelemental, depende de la combinación de esfuerzos que llevó a la plastificación la sección o secciones extremas y que en base al comportamiento plástico de la sección o secciones existe un acoplamiento entre todos los esfuerzos.

Palabras claves: elastoplasticidad, rótula plástica, fuerzas equivalentes, elemento barra 2D

Abstract

A general and original procedure is presented for determining the fixed-end forces in the 2D elastoplastic beam element. It is assumed the Navier hypothesis for beams with rectangular cross section, sudden and concentrated plasticity in the beam ends attending the yield function based on the von Mises criterion but expressed in term of beam forces (axial and shear forces and bending moment). The examples deal with one or two cross section in plastic state under concentrated or distributed loads. The results illustrate that the transmitted forces depend not only on the applied forces but also on the forces that caused the plasticity in the considered end of the beam and that, because of the plastic behavior in the plastic section, coupling between forces and displacements appears in that section.

Keywords: elastoplasticity, plastic hinge, equivalent forces, 2D beam element

INTRODUCCION

En el análisis del comportamiento mecánico de un elemento se pueden usar distintas hipótesis de cálculo en relación con el comportamiento del material, con la dependencia o no de las fuerzas o condiciones de contorno con las deformaciones producidas, y con la forma de aplicación de las cargas, entre otros. En este estudio se trabaja con elementos barra de comportamiento elastoplástico (no-linealidad material), se acepta la hipótesis de pequeños desplazamientos (geométricamente lineal) y se considera que la aplicación de las cargas se realiza de forma lenta monótona creciente (proceso cuasiestático). La no linealidad material que se considera corresponde a elastoplasticidad ideal con ley de flujo asociada y se adopta el modelo de plasticidad instantánea y concentrada en las secciones extremas de cada barra.

En este trabajo se propone un procedimiento para la determinación de las cargas equivalentes en los extremos de una barra a aquellas que actúan en el dominio de la misma. Esto es útil en el contexto del método de los elementos finitos o del cálculo matricial de estructuras en general ya que permite tratar adecuadamente las cargas interelementales. En cierto modo lo que se pretende es conocer como se transmite la carga interelemental a los extremos de la barra y así poder trabajar como es usual solo con cargas equivalentes concentradas en los extremos de barra.

En el intervalo de comportamiento elástico lineal, el procedimiento de obtención de las fuerzas equivalentes es conocido (McGuire y Gallaguer, 1979, Oñate, 1992). Sin embargo, cuando el comportamiento de la barra es elastoplástico, el proceso se complica ya que la carga transmitida depende, como se verá, de la combinación de esfuerzos que llevaron a la plastificación a la sección o secciones plásticas que pueda haber en la barra cargada. Como es sabido, cuando el agotamiento de la sección se produce sólo por efecto del momento flector se considera, desde el punto de vista cinemático, que ha aparecido una rótula plástica (Neal, 1985) en dicha sección. En este caso, la transmisión de las fuerzas interelementales a los extremos de la barra no entraña dificultades especiales y para su determinación es suficiente resolver el modelo elástico-lineal con rótula, sin necesidad de conocer más sobre el estado plástico de la sección.

Sin embargo, si la plastificación se produce por una combinación de esfuerzos, además del posible giro relativo de la sección hay que tener en cuenta los posibles desplazamientos relativos longitudinal y transversal, debido a que aparece un acoplamiento entre grados de libertad. En este caso no se debe hablar de rótula plástica sino de sección plastificada. La existencia de secciones plastificadas modifica las características de rigidez de la barra y las cargas que contiene en su dominio se transmiten de forma especial a los extremos. En pocos trabajos (Davies, 2002) se aborda el problema de determinar las fuerzas equivalentes en régimen elastoplástico. Los autores que abordan este tema (Wong, 1996; Tin-Loi y Vimonsatit, 1996; Saka y Hayalioglu, 1991; Graff y Eisenberger, 1991) no solo no emplean un planteamiento riguroso, sino que además utilizan estrategias poco eficientes. Usualmente se considera sólo una reducción en el momento plástico debida al esfuerzo axil o cortante (hablándose en este caso de rótula plástica con momento plástico reducido) y se modelizan las cargas distribuidas mediante múltiples puntuales (aumentándose innecesariamente el número de grados de libertad). Esto afecta no sólo a la exactitud del cálculo sino también al esfuerzo computacional y, en problemas como el que se trata de resolver, que deben ser resueltos mediante estrategias incrementales-iterativas, pueden condicionar la convergencia.

La alternativa que se propone en este trabajo se basa en la solución analítica del problema. Se obtienen los resultados exactos sin realizar aproximaciones del estado de carga ni aumentar el número de grados de libertad del modelo. En el procedimiento de resolución interviene el estado plástico de la sección y la función de plastificación, la cual depende de la geometría de la sección transversal de la barra.

En el siguiente apartado se realiza una breve descripción del modelo de barra hasta llegar a la formulación del elemento finito tipo barra 2D elastoplástica y se presentan las distintas funciones de plastificación. A continuación se determina el proceso para la transmisión de las cargas interelementales, diferenciando los casos de carga puntual y carga repartida. Por último se desarrollan ejemplos que ilustran la variación de las cargas transmitidas en función de los esfuerzos de la sección o secciones ya plastificadas y se muestran las conclusiones del estudio.

ELEMENTO BARRA 2D ELASTOPLÁSTICA

Formulación del elemento finito

Sea la barra plana mostrada en la figura 1. Se indica el sistema de coordenadas local y los incrementos de los desplazamientos de los nodos en ambos extremos. Cada nodo considerado tiene tres grados de libertad (con su componente elástica y plástica). Para una clara representación gráfica se consideran en los extremos de barra dos tramos de extensión infinitesimal  en los cuales poder indicar el grado de libertad correspondiente a la parte plástica.

Se adoptan las hipótesis de Navier-Bernoulli a partir de las cuales se puede describir el comportamiento elástico de la barra mediante la matriz de rigidez K (Oñate, 1992; Zienkiewicz y Taylor, 1995). Respecto al comportamiento no lineal material se adopta un modelo reológico de comportamiento elastoplástico perfecto (sin endurecimiento), ley de flujo asociada y criterio de plastificación de von Mises, considerándose que la plastificación es concentrada y súbita, lo que supone comportamiento elástico hasta que alguna sección se agota de forma completa y que las secciones adyacentes están en régimen elástico (Neal, 1985; Moller y Rubinstein, 1995).

Se considerará además que la sección se agota no sólo cuando todos sus puntos alcancen la tensión de fluencia sino también cuando su estado elastoplástico sea tal que a partir de la carga que lo produce no se puedan satisfacer simultáneamente las hipótesis anteriores, en particular las de Navier-Bernoulli (Neal, 1985).

Bajo estas hipótesis se puede demostrar que una estructura plana de barras sometida a un estado monótono de cargas, que aumenta hasta que la estructura o parte de ella se transforme en mecanismo por agotamiento sucesivo de secciones de la misma se puede resolver mediante una sucesión de problemas adecuadamente formulados. Planteando el problema de forma incremental ( , etc.) se puede llegar (Moller y Rubinstein, 1995) a que la ecuación matricial que gobierna el comportamiento a nivel elemental es

donde F es el vector de esfuerzos (N₁,V₁,M₁, N₂,V₂,M₂) y u_ep es el vector de desplazamientos elastoplásticos (u_ep1,v_ep1,θ_ep1, u_ep2,v_ep2,θ_ep2,) en los extremos de la barra. La ecuación (1) relaciona, en cada instante de tiempo t, el incremento de los esfuerzos en los nodos  con los incrementos de los desplazamientos totales en dichos nodos (elastoplásticos, ) a través de la matriz de rigidez elastoplástica tangente .

Fig. 1. Elemento barra 2D con posibilidad de plastificación en las secciones extremas.

Se adoptará un planteamiento lagrangiano actualizado y en lo que sigue no se incluirá el superíndice t. K es la conocida (Oñate, 1992) matriz de rigidez en régimen elástico lineal. La matriz E depende de las derivadas de la función de plastificación Y respecto de los esfuerzos y de la matriz de rigidez K como se indica en la ecuación

siendo  la matriz gradiente de la función de plastificación

En la obtención de la ec. (1) se ha considerado (hipótesis aditiva) que el incremento del desplazamiento elastoplástico  es la suma de los términos correspondientes al desplazamiento elástico y plástico ( ) donde cada uno de ellos se obtiene mediante las expresiones

siendo  la matriz de multiplicadores plásticos que se pueden obtener mediante

teniendo en cuenta que mientras una determinada sección permanezca en régimen plástico ha de satisfacerse que

Función de plastificación

En las expresiones anteriores interviene de forma decisiva la función de plastificación Y(F). Dicha función indica la combinación de esfuerzos F (axil N, cortante V y flector M) que agotan la sección considerada. Es conocido (Neal, 1985; Krenk et al.,1999; Olsen, 1999) que si sobre la sección sólo actúa un momento flector M la sección se agota cuando dicho momento adquiere el valor del llamado momento plástico M _p, luego

Si además del momento flector la sección está sometida a esfuerzo axil N ésta se agota cuando

De forma similar se tiene que si junto con el momento flector actúa un determinado esfuerzo cortante V la expresión correspondiente es

Siendo N_p y V_p  los esfuerzos axil y cortante que por sí solos agotan la sección. Para el caso general de una sección sometida a los 3 esfuerzos se tendría (GarcíaTerán, 2002) correspondiendo la primera expresión a la fase de plastificación primaria (progreso de la plastificación desde un extremo) y la segunda a la secundaria (progreso desde ambos extremos). En la figura 2 se representan gráficamente las expresiones (8), (9) y (10).Se observa que (10) engloba las dos anteriores (8 y 9) sin más que particularizar V_y/V_p=0 y N_y/N_p=0, respectivamente.

Fig. 2. Función de plastificación

Fuerzas equivalentes

La determinación de las fuerzas equivalentes en los extremos de las barras con cargas interelementales se realiza, en cada incremento de carga, de forma análoga a si se tratara de resolver mediante el método planteado una barra biempotrada. El proceso es como sigue: Conocido el incremento de cargas nodales , hay que obtener el incremento de desplazamientos elastoplásticos  usando (1). El incremento de las cargas nodales que puedan provenir de las cargas interelementales es desconocido a priori (es precisamente lo que se está buscando). Para resolver este problema se desarrolla un procedimiento mediante el cual se divide la barra con carga interelemental en dos (para el caso de 1 carga puntual) o tres (carga repartida) elementos virtuales. De esta forma la discretización resultante no tiene elementos elastoplásticos con cargas interelementales y se puede aplicar el método matricial de forma estándar.

Una vez obtenidos los movimientos elasto-plásticos en los nodos virtuales (resultantes de la discretización realizada) se procede a determinar los movimientos y las fuerzas en los nodos reales (extremos de la barra) y seguidamente a la determinación de las reacciones en los extremos empotrados (esto es, las fuerzas equivalentes). Para el caso de carga puntual el proceso queda de la forma que se explica en lo que sigue.

Fig. 3. Carga interelemental puntual. Discretización virtual en dos elementos.

En primer lugar se divide la barra en 2 elementos de tal manera que su nodo común coincide la sección donde están aplicadas las cargas puntuales. Seguidamente se determina la matriz de rigidez elastoplástica del conjunto a través de las matrices de rigidez elastoplásticas de cada una de las barras virtuales. Esto se lleva a cabo mediante la técnica habitual de ensamblaje de las matrices elementales dividas en bloques

Dado que ninguno de los elementos virtuales contiene cargas interelementales se puede proceder a resolver el sistema  tras aplicar convenientemente las siguientes condiciones de contorno pudiéndose obtener el vector de desplazamientos elastoplásticos  en el nodo 2 y por lo tanto los vectores de desplazamientos elastoplásticos en las dos barras virtuales

para posteriormente conseguir para cada elemento, mediante las ecuaciones (2), (5) y (6), el vector de desplazamientos plásticos en los nodos 1 y 3

Conocidos los incrementos de desplazamientos elastoplásticos del nodo 2 y los plásticos de los nodos 1 y 3 podemos obtener mediante (4) los incrementos de desplazamientos elásticos de todos los nodos del sistema. Por último, el producto de la matriz de rigidez elastoplástica de cada una de las barras virtuales por los incrementos de desplazamientos elastoplásticos de sus nodos correspondientes, nos permite obtener los esfuerzos en los extremos de las barras virtuales que cumplen con las condiciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento del sistema. De aquí se obtienen fácilmente las fuerzas equivalentes en los nodos extremos de las barras.

Para el caso de carga distribuida el procedimiento parte de discretizar la barra cargada en tres elementos virtuales, introduciendo dos nodos virtuales en los puntos inicial y final del dominio de actuación de la carga como se indica en la figura 4.

Fig. 4. Discretización virtual para caso de carga repartida.

El proceso seguido para este estado de carga es análogo al indicado en la carga puntual, con la diferencia de que en los nodos virtuales 2 y 3 las fuerzas nodales equivalentes correspondientes a la carga repartida en la barra 2 son las que aparecen considerando rígidos los nodos 2 y 3, y cuya magnitud es fácilmente calculable ya que en dichos nodos el comportamiento es elástico. Los casos particulares en los que el origen y/o extremo de la carga repartida coincidan con el origen y/o extremo de la barra se obtienen analíticamente igualando a cero las longitudes  y/o .

APLICACIONES

Se presentan tres aplicaciones para mostrar cuantitativamente cómo cambian las fuerzas equivalentes en una simple barra sometida a cargas sencillas dependiendo de los esfuerzos que provocaron la plastificación de alguno de sus extremos (o de ambos).

Carga puntual transversal central en una barra con plastificación en el primer extremo

Para una barra de sección rectangular 10x20cm, de 1m de longitud y en la que ha plastificado en una etapa anterior de la carga el extremo izquierdo se quiere conocer cuales son las cargas equivalentes a la puntual central mostrada en la figura 5.

Fig. 5. Barra con un extremo plastificado. Carga transversal puntual central.

En primer lugar se presenta la solución considerando que en la función de plastificación interviene solamente el momento flector junto con el axil ( ) o junto con el cortante ( ). Para el primer caso se tiene en abcisas el valor del axil N que junto con el correspondiente valor del flector M llevó a la plastificación al extremo izquierdo.

Análogamente se presenta para el segundo caso el valor del cortante V. En la figura 6 se representan los valores de las fuerzas ( , ) y momento ( ) en el nodo izquierdo (en régimen plástico). Mediante simples condiciones de equilibrio se pueden obtener los correspondientes al nodo derecho.

En la curva  se aprecia que cuando la plastificación se ha producido con esfuerzo axil distinto de cero el incremento del estado de carga de la barra (sólo a flexión) produce la aparición de esfuerzos axiles. Esto, que puede resultar raro, se explica por el acoplamiento existente entre el momento flector M y el esfuerzo axil N en la sección plastificada dado por la función de plastificación Y(M,N), representadas en la figura 2. En la curva  se comprueba que la fuerza axil transmitida es nula, independientemente del valor del esfuerzo cortante con el que se produjo la plastificación. Es decir, no existe acoplamiento. Para la curva F_1y Y (MN), en el caso en que el esfuerzo axil de plastificación es nulo, la fuerza transmitida  en  la dirección F_y coincide con la correspondiente a una rótula plástica (5/16), como era de esperar. Sin embargo, al realizar el estudio con esfuerzo axil de plastificación distinto de cero, la fuerza transmitida al nodo plastificado varía. Es de destacar que en los casos de esfuerzo axil nulo con el criterio Y(MN), y esfuerzo cortante nulo con el criterio Y(MV), la magnitud del momento transmitido también es nulo (rótula plástica tradicional).

Fig. 6. Fuerzas y momentos transmitidos al nodo 1 para el caso de carga transversal

Cuando en la función de plastificación se contemplan simultáneamente el momento flector y los esfuerzos axil y cortante la representación de ,  y  depende de dos variables (N y V) y por lo tanto son superficies en vez de curvas.

En la Figura 7 se representan dichas superficies. Cabe indicar que, para facilitar la visualización, en la determinación de esas superficies se ha considerado solamente el dominio correspondiente a la fase de plastificación secundaria de cada superficie generada.

Estas superficies engloban las curvas correspondientes a Y(MN) e Y(MV) obtenidas previamente (figura 6), lo que se comprueba de forma sencilla, ya que, por ejemplo, la primera curva F_1x Y (MN) aparece en las superficie haciendo V_y/V_p = 0, mientras que la segunda F_1x Y (MV) aparece tomando N_x / N_p = 0.

Fig. 7. Fuerzas F1x, F1y y momento M1z transmitidos por el nodo plastificado. Carga transversal.

Carga puntual longitudinal central en una barra con plastificación en el primer extremo

Aplicamos ahora el proceso a la misma barra del ejemplo anterior pero sobre la que actúa en su punto medio un incremento de carga puntual longitudinal, tal como se ve en la Figura 8.

Fig. 8. Barra con un extremo plastificado. Carga longitudinal puntual central.

Fig. 9. Fuerzas y momentos transmitidos al nodo 1 para el caso de carga longitudinal.

Procediendo de forma análoga se tienen las soluciones presentadas en las figuras 9 y 10. La interpretación debe ser realizada de forma análoga al caso anterior. Así, por ejemplo,  vale ½ si  es nulo y disminuye más cuanto más se aleje el axil con el que plastificó la sección de su valor nulo, indicando que a este nodo le llega menos carga (y más por tanto al nodo derecho)

Carga transversal uniformemente distribuida en una barra con plastificación en ambos extremos

Se aplica ahora el proceso a una barra de las mismas características geométricas que en los ejemplos anteriores sometida a la carga indicada en la figura 11 y con posibilidad de plastificación en ambos extremos.

Con ánimo de simplificar la muestra de resultados, el estudio se ha desarrollado para los casos en que los esfuerzos en los nodos plastificados adquieren los valores nulo y mitad del valor de plastificación ( , , , ). Los resultados obtenidos aparecen reflejados en la Tabla 1.

Las fuerzas transmitidas para el caso de comportamiento elástico ( , ), o con plastificación en uno o los dos extremos de barra pero sin efecto de los esfuerzos axil y cortante ( ,  con  y  o ,  con , ,  y ) son susceptibles de ser comparados con soluciones conocidas.

Fig. 10. Fuerzas F1x, F1y y momento M1z, transmitidos por el nodo plastificado. Carga longitudinal.

Fig. 11. Barra con carga uniformemente distribuida, con dos nodos plastificados

En la primera fila de la tabla aparecen los valores correspondientes al estudio elástico lineal debido a que ninguno de los extremos ha alcanzado la plastificación ( y ). En ella se vuelve a apreciar la no existencia de fuerza axil transmitida ( ), el reparto de la carga en los dos extremos de forma equivalente en la dirección y ( ), y el momento en los extremos correspondiente al valor del nudo rígido ( ). Estos resultados presentados se pueden interpretar como en los ejemplos anteriores.

Tabla 1. Algunos resultados de la barra sometida a carga uniformemente distribuida.

CONCLUSIONES

En este trabajo se plantean de forma rigurosa las bases para el estudio numérico de una barra plana en régimen elastoplástico, utilizando el método de los elementos finitos y considerando los distintos esfuerzos que pueden intervenir en el agotamiento de cada sección transversal. Dependiendo de los esfuerzos que se consideren en el estudio de las secciones plastificadas se muestran distintas soluciones y se resalta el caso en que no se desprecia ninguno de los esfuerzos ya que engloba a los otros casos simplificados clásicos

Se presenta un proceso original y eficiente para solucionar el problema de la transmisibilidad con acoplamiento de cargas interelementales sobre el elemento barra con comportamiento elastoplástico, tanto para el caso de carga puntual como para el caso de carga repartida, lo que permite la optimización de procesos y recursos computacionales.

Se analiza las gráficas de resultados de la transmisión de fuerzas para un estado de carga simple en una barra de sección rectangular con 1 o 2 extremos plastificados y se demuestra que para los casos simplificados engloba los resultados de formulaciones clásicas basadas en el concepto de rótula plástica.

AGRADECIMIENTOS

Para la realización de esta investigación se cuenta con la colaboración de la Consejería de Educación y Cultura de la Junta de Castilla y León, España, a la cual los autores expresan su agradecimiento.

REFERENCIAS

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