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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.2 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000200007 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°2-2006, pág.: 43-50

METODOS NUMERICOS

Aplicación del Análisis Dimensional Discriminado a la Convección Libre en una Placa Vertical a través de un Medio Poroso

Application of Discriminated Dimensional Analysis to Free Convection in a Vertical Flat Plate Through a Porous Medium

Carmelo N. Madrid, José R. Navarro y Antonio Herranz
Universidad Politécnica de Cartagena, Dpto. de Física Aplicada, Campus Muralla del Mar,
30202 Cartagena-España (e-mail: nicolas.madrid@upct.es)


Resumen

En este trabajo, se presenta un estudio sobre la convección libre laminar en una placa vertical impermeable a través de un medio poroso empleando análisis dimensional discriminado. Se han obtenido soluciones para el espesor de la capa límite y el coeficiente de transmisión del calor en los casos de placa isoterma y con flujo uniforme de calor, soluciones que coinciden con las analíticas salvo una constante de proporcionalidad. La discriminación de las dimensiones del espacio permite expresar, en un solo monomio, la solución del problema. También la aplicación del análisis dimensional discriminado permite asociar a los números de Rayleigh y de Nusselt un significado físico relacionado con la geometría del problema.

Palabras claves: análisis dimensional discriminado, convección libre, placa vertical, medio poroso


Abstract

Laminar free convection in an impermeable flat plate trough a porous medium has been studied in this paper using discriminated dimensional analysis. With this method, which avoids complicate analytical calculus, solutions were obtained for the thickness of the boundary layer and the heat transfer coefficient in cases involving an isothermal plate and uniform heat flux These solutions agree with analytical results, except for a numerical proportional constant. Discrimination of the dimensions leads to an single monomial for the solution of the problem. Also, application of discriminated dimensional analysis relates the classical numbers Ray and Nuy with the geometry of the problem giving them a physical meaning.

Keywords: discriminated dimensional analysis, free convection, vertical flat plate, porous medium


INTRODUCCIÓN

La transferencia de calor por convección en medios porosos es un tema que ha sido desarrollado en los últimos 30 años, como consecuencia de la necesidad de su conocimiento para ser aplicado a un gran número de procesos técnicos, tales como la industria del petróleo, energía geotérmica, diseño de sistemas de aislamiento, como por ejemplo fibras y aislantes granulados, etc. Dada la complejidad que presenta la interconexión de los diferentes fenómenos físicos que intervienen en la transmisión del calor en medios porosos, es de gran interés obtener la mayor información posible acerca de ellos, con objeto de proceder a la resolución de un problema dado.

Los métodos empleados para obtener las soluciones de los diferentes casos tratados, de acuerdo con la geometría de la superficie sólida a través de la cual se transmite calor al medio poroso que la rodea, han sido habitualmente la resolución de las ecuaciones diferenciales, el método integral y mediciones experimentales. En todos ellos las soluciones suelen expresarse en función de los denominados números adimensionales, monomios que relacionan diversas variables que intervienen en el problema y a los que se pretende, en la mayoría de los casos asignar un significado físico determinado.

Los números adimensionales clásicos conocidos han sido obtenidos por diversos procedimientos: a) la adimensionalización de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno, empleando ciertas magnitudes de referencia que permiten definir variables adimensionales, b) el Análisis de escala, basado en un análisis comparativo del orden de magnitud de los diferentes términos de las ecuaciones diferenciales, c) el Análisis dimensional clásico, de aquí en adelante ADC, es decir sin la utilización de la discriminación de las dimensiones del espacio.

En la mayoría de los textos de transmisión del calor, tanto clásicos: McAdams (1954), Gröber y Erk (1967), como modernos, Kessler y Greenkorn (1999), Mills (1999), Kreith y Bohn (2002), Cebeci (2002), emplean el Análisis dimensional con el principal objetivo de deducir, del gran número de variables que intervienen en un proceso, los monomios en función de los cuales se expresan las soluciones. Sin embargo, hemos de destacar que en todos ellos se hace uso del ADC, pero no del Análisis dimensional discriminado (de aquí en adelante ADD).

El ADD consiste en reemplazar en la base dimensional de la teoría empleada, por ejemplo en Mecánica (L, M, T), la dimensión longitud, L, por tres componentes, Lx, Ly, Lz, lo que se conoce con el nombre de discriminación de las dimensiones del espacio. Dicha idea fue sugerida inicialmente por Williams (1892), empleada posteriormente por Huntley (1952) y justificada por Palacios (1964). Herranz y Arenas (2003) han desarrollado el método, ampliándolo a una discriminación espacial que conduce a que en las bases dimensionales puedan intervenir a la vez, como magnitudes fundamentales, longitudes, superficies y volúmenes. Con este último método (ADD) se obtiene una mayor información y soluciones más precisas que con el ADC. En primer lugar, la discriminación de las dimensiones del espacio conduce a que los llamados monomios de forma, cocientes entre longitudes en diferentes direcciones o superficies, dejen de ser monomios adimensionales que formen parte de la solución de forma independiente. En segundo lugar dado que la multiplicidad de la base ha aumentado, permaneciendo invariable el número de variables que intervienen, el número de monomios pi que conforman la solución disminuye.

Nos ocupamos aquí de resolver, mediante el ADD, la trasmisión del calor por convección libre en una placa vertical a través de un medio poroso saturado en los casos de placa isoterma y con flujo uniforme de calor. En ambos casos obtendremos soluciones para el espesor de la capa límite y el coeficiente de transmisión del calor. El ADD permitirá realizar una modificación y posterior revisión del carácter de los “números adimensionales clásicos”, dado que la mayoría de ellos dejan de ser adimensionales en las bases discriminadas.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Consideremos una placa vertical impermeable, figura 1, sumergida en un medio poroso saturado a temperatura uniforme q¥. Independientemente de la condición térmica en la superficie sólida, isoterma, qs, o con flujo uniforme de calor, q², el proceso de transmisión del calor tiene lugar en una región delgada de fluido adyacente a la superficie sólida (capa límite térmica), de tal manera que pueden aplicarse las aproximaciones de la capa límite análogas a las de la teoría de capa límite clásica.

Fig. 1: Capa Límite. Sistema de ejes coordenados.

En el análisis se supone que: i) el medio poroso y el fluido convectivo se encuentran en equilibrio térmico y con propiedades constantes, ii) el movimiento del fluido es de velocidad reducida por lo que es aplicable la ley de Darcy, Darcy (1856) y, en consecuencia, son despreciables las fuerzas de inercia,:

                                        (1)

iii) es despreciable la disipación viscosa, Nield y Bejan (1999), y iv) se aplica la aproximación de Bosussinesq en la ecuación de la cantidad del movimiento con el fin de introducir en el término de las fuerzas de flotación el coeficiente de dilatación del fluido.

Teniendo en cuenta lo anterior y realizando una estimación de orden de magnitud, Cheng (1978), Nield y Bejan (1999), las ecuaciones de la capa límite toman la forma:

                                                   (2)

                                     (3)

                           (4)

                                      (5)

Si la disipación viscosa no fuese despreciable habría que añadir un término en el segundo miembro de la igualdad en la ecuación (5). Dicho efecto ha sido investigado por Murthy y Singh (1997).

Hemos de notar que las ecuaciones diferenciales anteriores están acopladas, es decir, la distribución de velocidades depende de la de temperaturas y viceversa, por lo que han de resolverse simultáneamente. El problema fue resuelto mediante el método diferencial, por Cheng y Minkowycz (1977), Cheng (1977), empleando variables adimensionales y por Cheng (1978) utilizando el método integral.

El Análisis dimensional discriminado constituye un método alternativo mediante el cual, una vez establecido a qué teoría pertenece el problema que desea resolverse, y especificada la lista de variables que intervienen en el problema, a través de un proceso deductivo más simple que los anteriores pueden alcanzarse resultados tan precisos, salvo una constante adimensional. Además, la información que suministra el Análisis dimensional discriminado acerca de los monomios adimensionales que conforman la solución de un problema dado, permite, por una parte, clarificar el papel que juegan los “números adimensionales clásicos”, Nuy, Ray y Ra*y, que son adimensionales en el ADC y dejan de serlo en el ADD, y por otra, asignar un significado físico concreto a cada uno de ellos, Herranz y Arenas (2003), Madrid y Alhama (2005).

Madrid (1987) deduce, en función de las leyes fundamentales de la teoría, las bases dimensionales que han de considerarse en la transmisión del calor en medios fluidos, obteniendo que cuando la disipación de energía mecánica es despreciable, la base dimensional discriminada que debe emplearse es (Lx, Ly, Lz, Q, T, q, M).

El método del Análisis dimensional conduce a que la multiplicidad de la base dimensional en la transmisión de calor por convección en medios porosos, procesos en los que la disipación de energía es prácticamente nula, se obtendría sin más que añadir a las leyes fundamentales consideradas en fluidos, Madrid (1987), la ley de Darcy (1).

Dado que en la ecuación (1) la permeabilidad K es una constante característica del medio poroso, dicha expresión puede considerarse en esencia la ecuación de definición de K, de manera análoga a como la ley de Fourier de la conducción es la ecuación de definición de la conductividad térmica. Desde este punto de vista, la ley de Darcy introduce una nueva ecuación en el sistema de leyes de la teoría, pero a la vez introduce una, y solo una, nueva variable, la permeabilidad K, ya que el resto de magnitudes que intervienen en dicha ley están previamente establecidas. Según lo anterior, el número de variables de la teoría ampliada es n+1; al añadir la ley de Darcy la característica de la matriz de los exponentes con que las variables intervienen en el sistema de ecuaciones es h+1. En consecuencia la multiplicidad de la base queda inalterada: m = (n+1)-(h+1) = n-h.

Se trata aquí de determinar, mediante ADD, empleando la base dimensional discriminada (Lx, Ly, Lz, Q, T, q, M), el espesor de la capa limite, d, y el coeficiente de transmisión del calor local, hy, en el proceso descrito, tanto cuando la placa sea isoterma como cuando exista en ella un flujo uniforme de calor.

PLACA VERTICAL ISOTERMA

Las variables independientes que intervienen en el proceso de transmisión del calor son: la coordenada y tomada desde el borde inferior de la placa, la diferencia de temperaturas, q¢ = qs - q¥, Ev = rgb, K, m, c¢, y k. La densidad del fluido no interviene como variable independiente ya que las fuerzas de inercia son despreciables, pero forma parte del término de las fuerzas de empuje por unidad de volumen.

En el proceso confluyen dos fenómenos diferentes, el correspondiente al movimiento del fluido convectivo en dirección vertical y el asociado a la transmisión del calor entre la placa y el medio permeable saturado. Mientras que el primero de ellos, relacionado con el comportamiento de las fuerzas viscosas, queda especificado desde el punto de vista espacial con dos direcciones, una vertical y otra horizontal, no perfectamente definida por la presencia del medio poroso, (Ly, LH), el segundo depende de las tres direcciones del espacio (Lx, Ly, Lz). Uno y otro comportamiento, desde el punto de vista dimensional, pueden conjugarse al relacionar LH con Lx y Lz, del siguiente modo. Dado que la dimensión de la superficie horizontal es , la dimensión de una dirección horizontal puede expresarse como . Este nuevo planteamiento conduce a una modificación de las fórmulas dimensionales de la viscosidad m y de la permeabilidad del medio permeable, K. Las fórmulas dimensionales de las variables que intervienen en el problema en la base discriminada son:

                                                          (6)

                                                           (7)

                              (8)

(9)

       10)

 (11)

                (12)

Pudiéndose formar el cuadro de exponentes dimensionales siguiente:

Tabla 1. Matriz de los exponentes dimensionales de las variables independientes. Placa isoterma.

 

y

Ev

K

m

k

Lx

0

0

-1

1

0

-1

1

Ly

1

0

0

0

-1

-1

-1

Lz

0

0

-1

1

0

-1

-1

Q

0

0

0

0

0

1

1

T

0

0

-2

0

-1

0

-1

q

0

1

-1

0

0

-1

-1

M

0

0

1

0

1

0

0

Las variables mostrados en la tabla 1 no pueden formar ningún monomio adimensional, lo cual era de esperar ya que son independientes. Precisamente, el problema reside en hallar d y hy como función de dichas variables.

Para determinar el espesor de la capa límite, de dimensión,

,                                                    (13)

bastará con incluir en la tabla 1 su fórmula dimensional y resolver el sistema. Resulta un único monomio:

                          (14)

donde,

                                         (15)

pudiéndose expresar la solución en la forma:

                                         (16)

siendo C1 una constante adimensional.

El coeficiente local de transmisión del calor, hy, se determina añadiendo a las variables de la tabla 1 la columna correspondiente a los exponentes dimensionales discriminados de dicho coeficiente, esto es, con [dS] = Ly Lz:

                    (17)

Resultando, entonces, un solo monomio p,

                                (18)

siendo,

,                                          (19)

Esto conduce a la solución:

                                   (20)

Nuestros resultados (16) y (20) concuerdan con los obtenidos por Cheng y Minkowycz (1977), y Cheng (1978), por otros procedimientos.

PLACA CON FLUJO UNIFORME DE CALOR

Caso distinto es cuando la superficie sólida comunica al medio permeable saturado un flujo uniforme de calor, q². El problema de transmisión del calor consiste en predecir la diferencia de temperaturas entre la placa y el medio permeable, siendo de esperar que tanto la diferencia de temperaturas mencionada, qs(y) - q¥, como el espesor de la capa límite térmica sean función de la coordenada y. Por consiguiente, ahora el dato es el flujo uniforme de calor y no la diferencia de temperaturas.

Con la base dimensional empleada es:

         (21)

Los exponentes dimensionales de las variables independientes que intervienen en el problema conforman la siguiente tabla:

Tabla 2. Matriz de los exponentes dimensionales de las variables independientes. Placa con flujo uniforme de calor.

 

y

Ev

K

m

K

Lx

0

0

-1

1

0

-1

1

Ly

1

-1

0

0

-1

-1

-1

Lz

0

-1

-1

1

0

-1

-1

Q

0

1

0

0

0

1

1

T

0

-1

-2

0

-1

0

-1

q

0

0

-1

0

0

-1

-1

M

0

0

1

0

1

0

0

Tampoco en este caso las variables que intervienen en la tabla 2 pueden formar un monomio adimensional.

Para calcular el espesor de la capa límite, añadimos la columna correspondiente a los exponentes dimensionales de d, . Operando se deduce el único monomio adimensional posible, solución del problema.

              (22)

donde,

                                            (23)

En consecuencia, la solución es:

                                                        (24)

El problema de determinar la diferencia de temperaturas qs(y) - q¥, es equivalente al de determinar el coeficiente local de transmisión del calor, hy, definido por:

                                      (25)

o bien el número de Nusselt local,

                       (26)

La fórmula dimensional del coeficiente local de transmisión del calor, teniendo en cuenta (21), es:

                       (27)

Procediendo de forma análoga a los casos expuestos anteriormente, incluyendo (27) en la tabla 2, se obtiene un único monomio adimensional,

                    (28)

o bien p4 = C4. En consecuencia, la solución se expresa de la forma:

                                      (29)

Los resultados obtenidos con nuestro planteamiento concuerdan con las soluciones que aportan Cheng y Minkowycz (1977) y Cheng (1977).

NÚMEROS DE RAYLEIGH Y DE NUSSELT

Los “números adimensionales clásicos”, Nuy, Ray y Ra*y empleados de manera generalizada para expresar las soluciones en la transmisión del calor por convección libre en un medio poroso son realmente adimensionales en ADC pero no tienen dimensión nula cuando se considera la discriminación de las dimensiones del espacio ADD.

En efecto, con el ADC, empleando la base dimensional (L, Q, T, q, M) los números, Nuy, Ray y Ra*y son adimensionales, lo que conduce a que intervengan en la solución de manera independiente, siendo en consecuencia las soluciones más imprecisas. Hemos de destacar que no podía esperarse un resultado diferente al obtenido puesto que sus definiciones fueron establecidas bajo el criterio de no distinguir entre las diferentes direcciones del espacio, esto es, sin tener en cuenta el diferente comportamiento de las magnitudes geométricas y de las magnitudes vectoriales según sus direcciones.

Sin embargo, si tenemos en consideración las fórmulas dimensionales discriminadas de las variables que intervienen en los dos problemas (tablas 1 y 2), resulta que los números adimensionales clásicos toman las siguientes dimensiones:

                                            (30)

                                               (31)

Desde el punto de vista práctico, la pérdida del carácter adimensional de estos grupos de variables, conduce a que en las soluciones cada uno de ellos no puede jugar un papel independiente sino que deberán combinarse, de algún modo, entre sí o con otros monomios adimensionales, para constituir la solución del problema tal y como ha sucedido en las expresiones (16), (20), (24) y (29).

Es evidente que la información obtenida de este modo es más amplia que la que proporciona el Análisis dimensional clásico, puesto que conduce a establecer explícitamente relaciones de proporcionalidad entre variables que intervienen en el problema.

Dado el gran número de variables que intervienen en las definiciones de Ray y Ra*y, (15) y (23), no es fácil asociar un significado físico concreto a dichos números. Si embargo, los resultados obtenidos mediante la discriminación de las dimensiones arrojan alguna luz sobre esta cuestión. En efecto, según (30) y (31) Ray y Ra*y están asociados al cociente entre una longitud en dirección paralela a la placa vertical y una longitud en dirección perpendicular a la placa. La identificación de la primera de ellas parece obvia, pues debe tratarse de la distancia vertical tomada desde el borde inferior de la placa, y, o bien la altura de la placa H, en el caso de que se desee determinar el valor medio, en lugar del local. Dado que el proceso de transmisión del calor tiene lugar en la capa límite, la segunda de ellas, en dirección perpendicular a la superficie sólida, debe ser su espesor, d. Todo lo anterior queda confirmado por las soluciones obtenidas (16) y (24). En cada uno de los casos:

 

En definitiva el número de Rayleigh, en los casos tratados, está relacionado con la extensión de una región, adyacente a la superficie sólida, caracterizada por las longitudes d e y, en donde existen gradientes de temperatura que originan la consiguiente transmisión del calor por convección libre entre la placa vertical y el medio permeable saturado.

Con respecto al número de Nusselt, cuya definición clásica es:

 ,                                    (32)

donde X representa una longitud caracterestica, se le ha atribuido el significado físico de una relación entre el calor transmitido por conducción a través de una capa de fluido de espesor X y el transmitido por convección. En el caso de placas verticales la longitud característica empleada usualmente se ha tomado en dirección paralela a la placa, (19), resultando un Nuy adimensional en el ADC, . El “número adimensional clásico”, Nuy, definido así, no es consecuente con la ecuación de la energía en la capa límite (5), que expresa un balance entre el calor transmitido por conducción en dirección perpendicular a la placa y el transmitido por convección. En el contexto del ADD el Nuy no es adimensional, pues, .

Por el contrario, sí son adimensionales el producto , cuando la superficie es isoterma, y , cuando existe un flujo uniforme de calor. Puede deducirse entonces, teniendo en cuenta (16), (20), (24) y (29), que dichas combinaciones, en cada uno de los casos, conducen a:

                       (33)

                       (34)

que poseen el carácter de verdaderos números de Nusselt locales adimensionales, tanto en el ADC como en el ADD, en los que la longitud característica es el espesor de la capa límite térmica, y cuyo significado físico es el de la relación entre el calor transmitido por conducción en una capa de fluido de espesor d y el trasmitido por convección.

CONCLUSIONES

Mediante el Análisis dimensional discriminado se ha resuelto el problema de la convección libre en una placa vertical a través de un medio poroso, obteniendo las soluciones funcionales exactas, salvo una constante de proporcionalidad, tanto para el coeficiente de transmisión del calor.

Los resultados obtenidos ponen de manifiesto el alcance del método de la discriminación de las dimensiones del espacio al proporcionar la mayor información posible acerca de la relación entre las variables que intervienen en el problema.

El método empleado permite clarificar el carácter de los números adimensionales clásicos con los que suelen expresarse las soluciones, asignándoles significados físicos relacionados con el proceso analizado. Se define un número de Nusselt adimensional adecuado para este tipo de problemas, mediante la combinación de los números clásicos de Nusselt y Rayleigh que no son adimensionales en el Análisis dimensional discriminado.

NOMENCLATURA

ADC

Análisis dimensional clásico

ADD

Análisis dimensional discriminado

c¢= rcp

Calor específico de la unidad de volumen de fluido (J/m3 K)

Ev=rgb

Empuje hidrostático (N/m3 K)

g

Aceleración de la gravedad (m/s2)

K

Permeabilidad del medio poroso (m2)

k

Conductividad térmica del medio poroso (W/m K)

Flujo de calor (W/m2)

u

Velocidad horizontal (m/s)

v

Velocidad vertical (m/s)

L

Longitud (base dimensional)

M

Masa (base dimensional)

Q

Calor (base dimensional)

T

Tiempo (base dimensional)

Nuy

Número de Nusselt, (19)

Ray

Número de Rayleigh modificado para placa isoterma, (15)

Ra*y

Número de Rayleigh modificado para flujo uniforme de calor, (23)

x, y

Coordenadas espaciales (m)

Símbolos griegos

b

Coeficiente de dilatación térmica   (K-1)

d

Espesor de la capa límite (m)

m

Viscosidad del fluido (kg/m s)

q

Temperatura (K)

Diferencia de temperaturas (K)

r

Densidad del fluido (kg/m3)

Subíndices

x, y, z,

Direcciones espaciales

s

Superficie de la placa

¥

Fluido no perturbado

REFERENCIAS

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