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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.16 n.6 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000600007 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°6-2005, págs.: 37-42

COMPUTACION APLICADA

Nueva Concepción de la Estrategia General de Diseño de Sistemas Analógicos

A New Concept for the General Design Strategy of Analog Systems

A. M. Zemliak(1) y R. D. Peña(2)
(1) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas,
Av. San Claudio y 18 Sur, Ciudad Universitaria, 72570 Puebla, Pue.-México (azemliak@fcfm.buap.mx)
(2) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Centro de Química-ICUAP, Módulo 193,
Ciudad Universitaria, 72570 Puebla, Pue.-México (dapena@siu.buap.mx)


Resumen

Se presentan los principios básicos de una nueva metodología general para el diseño de sistemas analógicos no lineales por medio de la formulación de la teoría de control óptimo. Se elaboraron las ecuaciones principales para el proceso de diseño de sistemas analógicos. Estas ecuaciones incluyen las funciones especiales de control que se introducen artificialmente para generalizar el proceso de diseño total. Esta nueva concepción de diseño de sistemas analógicos genera un número muy grande de diferentes estrategias de diseño. Los resultados numéricos se generaron por computadora mediante programas en lenguaje C++. Se concluye que la ganancia en tiempo de esta nueva metodología de diseño aumenta con respecto a la metodología tradicional conforme crece el tamaño y la complejidad del sistema. Los resultados numéricos demuestran la potencial eficacia de la nueva metodología de diseño y prueban la perspectiva de la concepción propuesta.


Abstract

The basic principles for a new general technology for the design of non-linear analog systems by formulating an optimal control theory are presented. The main equations for the analog system design process were formulated. These equations included special control functions which are artificially introduced to generalize the overall design process. This new design concept for analog systems generates a very large number of different design strategies. The numerical results were generated by computer using C++ language programs. It is concluded that the gain in time through this new design methodology is increased in comparison with traditional methodology in proportion to the growth in size and complexity of the system. The numerical results demonstrate the potential efficiency of the new design methodology and prove the perspective of the proposed concept.

Keywords: control theory, analog systems, design strategy, control function, nonlinear, time gain


INTRODUCCIÓN

La metodología tradicional para el diseño de sistemas analógicos incluye la interacción entre dos partes principales: el modelo del sistema y el procedimiento de optimización paramétrico que llevan acabo todos los objetivos del diseño. El modelo del sistema se determina como ecuaciones algebraicas o íntegro diferenciales. Del punto de vista del problema de la optimización estas ecuaciones son restricciones para la función objetivo de optimización. Sin embargo, el tiempo de análisis de circuitos de gran escala y el tiempo de optimización se incrementan cuando la escala del circuito se incrementa.

Hay algunos métodos poderosos que reducen el tiempo necesario para el análisis de circuitos. Debido a que la matriz de un circuito de gran escala es dispersa, técnicas especiales son usadas con éxito para este propósito. Otro mecanismo para reducir el esfuerzo computacional requerido se basa en las técnicas de descomposición. La técnica de optimización  usada para la optimización y diseño de circuitos, ejerce una influencia muy fuerte sobre el tiempo total de computadora necesario. Los métodos numéricos se desarrollaron para la optimización sin restricciones así como para la optimización con restricciones. Los aspectos prácticos de estos métodos se desarrollaron para el diseño de circuitos electrónicos con los diferentes criterios de optimización (Brayton et al., 1981, Massara, 1991). Las ideas de diseño descritas anteriormente pueden nombrarse como concepción tradicional o como estrategia tradicional porque el método de análisis está basado en las leyes de Kirchhoff.

Otra formulación del problema de optimización de circuitos se desarrolló hace algunas décadas a nivel heurístico por Kashirsky y Trokhimenko, (1979). Esta idea se basa en un modelo ignorando una parte o el sistema completo de las leyes de Kirchhoff. La función especial de costo se minimiza en lugar de resolver la ecuación del circuito. Esta idea se desarrolló para la optimización de circuitos de microondas (Rizzoli et al., 1990) y para la síntesis de circuitos analógicos de alto rendimiento (Ochotta et al., 1996) en caso extremo, cuando el modelo del sistema total fue eliminado. Esta última idea puede nombrarse como estrategia de diseño tradicional modificada.

Por otro lado es posible usar una idea más general de diseño del sistema, que fue elaborada da por Zemliak, (2001) y que redefine el problema del diseño sobre las bases de la teoría del control óptimo. Algunas funciones especiales de control fueron introducidas para generalizar el proceso de diseño del sistema. La idea principal de esta concepción es la de reformular el conjunto de parámetros del sistema. Algunos o todos los parámetros dependientes pueden redefinirse como independientes para reducir el orden del sistema, el cual necesita ser analizado en cada paso de optimización. El número de los diferentes caminos de diseño que aparecen en esta estrategia generalizada, es igual a 2M para el valor constante de todas las funciones de control, M es el número de parámetros dependientes. El número de estrategias también crece cuando en cada paso de integración cambia la función de control (Zemliak, 2002; Zemliak, 2004).

Sin embargo, esta teoría no es la más general. En los límites de esta concepción los parámetros del sistema inicialmente dependientes pueden transformarse a independientes pero la transformación inversa no se suponía. Por lo que este trabajo se enfoca en desarrollar un concepto más general sobre el diseño de sistemas analógicos, esta nueva concepción se basa en el trato igualitario de los parámetros del sistema, es decir, cualquier parámetro del sistema puede definirse como independiente o dependiente, en este caso se obtendrá un inmenso conjunto de nuevas estrategias de diseño para el valor constante de todas las funciones de control y más posibilidades para construir una estrategia óptima de diseño.

Los resultados numéricos se muestran en tablas mostrando el tiempo y número de iteraciones para cada estrategia en cada ejemplo, tales resultados se generan a partir de programas escritos en lenguaje C++.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

De acuerdo con la anterior metodología el proceso de diseño se define como el problema de minimización de la función de costo  para  por el procedimiento de optimización, el cual puede ser determinado en forma continua como:

,                             (1)

y por el análisis del modelo del sistema electrónico en la siguiente forma:

                (2)

donde N = K+M, K es el número de parámetros independientes del sistema, M es el número de parámetros dependientes del sistema, X es el vector de todas las variables ; U es el vector de las variables de control ;  ; .

Las funciones de la parte derecha del sistema (1) dependen concretamente del algoritmo de optimización y, por ejemplo, para el método del gradiente son determinadas como:

 

,                             

                      (3)

 

,

donde b es el parámetro de iteraciones, el operador  en lo sucesivo significa ,

 es igual a ;    es la función implícita ( ) que es determinada por el sistema (2), C(X) es la función de costo del proceso de diseño. El problema de buscar el algoritmo de diseño óptimo es determinado ahora como el problema típico de la minimización de una funcional de la teoría de control.

El tiempo de diseño total de computadora sirve como el funcional necesario en este caso. La solución del problema óptimo o cuasi óptimo puede obtenerse en base a métodos analíticos (Pontryagin et al., 1962) o numéricos (Pytlak, 1999). Por esta formulación los parámetros inicialmente dependientes para el valor de  pueden transformarse a independientes cuando uj=1 y a dependientes cuando uj=0. Por otro lado los parámetros inicialmente independientes para,  son siempre independientes.

Se ha desarrollado en el presente artículo la nueva concepción que permite generalizar la metodología de diseño descrita anteriormente.

Se supone ahora que todos los parámetros del sistema pueden ser independientes o dependientes. En este caso se necesita cambiar la ecuación (2) por la nueva definición del modelo del sistema y la ecuación (3) por la nueva descripción de la parte derecha del sistema (1).

La ecuación (2) para la definición del modelo del sistema se transforma ahora a:

                                          (4)

        y          j Î J

donde J es el conjunto de índices para todas las funciones  para las cuales ui = 0, J = {j1, j2, . . .,jz},  js Î P   con s = 1, 2, . . ., ZP es el conjunto de los índices de 1 a M, P = {1, 2, . . ., M}, Z es el número de ecuaciones que quedarán en el sistema (4), Z Î{0, 1. . ., M}.

La parte derecha del sistema (1) es definido ahora como:

   (5)

,

donde F(X,U) es la función objetivo generalizada y está definida como:

                         (6)

Esta nueva definición del proceso de diseño generaliza la metodología para el diseño del sistema y produce una base estructural más representativa de diferentes estrategias de diseño.

El número total de las diferentes estrategias que componen la base estructural, es igual a . Por lo que se esperan nuevas posibilidades de acelerar el proceso de diseño en este caso.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se presenta una selección de resultados obtenidos de tres ejemplos de circuitos electrónicos no lineales con elementos pasivos.

El primer ejemplo muestra un circuito simple de un nodo como se ve en la figura 1, este circuito se compone de elementos pasivos, es decir, elementos que no requieren polarización. El vector X incluye dos componentes definidos por las siguientes fórmulas: , y .

El proceso de diseño comienza con valores iniciales para los parámetros x1 y x2, y finaliza cuando se minimiza la función objetivo F(X).

El elemento no lineal tiene la siguiente dependencia: . Usando las leyes de Kirchhoff podemos obtener la siguiente forma para la función g(X) en el nodo 1.

                  (7)

Esta definición supera el problema de la restricción positiva para la resistencia. Sólo una función de control es definida en este caso y sólo dos estrategias diferentes de diseño componen la base estructural, para u1 = 0 y para u1 = 1 de acuerdo con la metodología previamente desarrollada.

Sin embargo es necesario introducir dos funciones de control y tres estrategias diferentes de diseño para la nueva formulación generalizada. Se tiene el vector de la función de control U(u1, u2) y con tres estrategias de diseño: (1,0), (1,1), (0,1). La función objetivo se determinó como C(X) = (x2 –mm1)2 donde r0=1, a=1 V0=1 y mm1=0.1V0, solamente por fines prácticos.

Estrategia (1,0). Esta es la estrategia de diseño tradicional. Es necesario mencionar que x1 es independientes y x2 es dependiente, esto se representa como U(1,0). El procedimiento de optimización es realizado por la siguiente ecuación  con la función objetivo F(X)=C(X)=(x2-0.1)2 y x2 puede ser calculada mediante la formula analítica:

.

Fig. 1: Un simple circuito de un nodo

Estrategia (1,1). Esta es la estrategia de diseño tradicional modificada. Es necesario señalar que x1 y x2 son independientes y se tienen dos ecuaciones para el procedimiento de optimización en este caso: , , con la función objetivo F(X)= C(X) + g2(X).

Estrategia (0,1). Esta es la nueva estrategia, la cual no aparecía en la teoría previamente desarrollada. En este caso x1 es dependiente y x2 es independiente. El procedimiento de optimización se define ahora por la ecuación   y con la función objetivo F(X)=C(X). El parámetro dependiente x1 puede ser calculado ahora de la ecuación (7) por la fórmula .

Los resultados numéricos que corresponden a las tres estrategias anteriormente mencionadas para los vectores de control (1,0), (1,1) y (0,1) son mostrados en la Tabla 1.

La estrategia (0,1) tiene el número de iteraciones y de tiempo total de diseño menor que las otras estrategias, la ganancia en tiempo es de 1.73 con respecto a la estrategia tradicional.

Tabla 1: Conjunto total de estrategias de diseño
que conforman la base estructural.

Vector
U

Número de
Iteraciones

Tiempo Total
(s)

0,1

5

0.000075

1,0

9

0.000130

1,1

26

0.00143

La figura 2 muestra un circuito no lineal con dos nodos donde el elemento no lineal tiene la siguiente dependencia: .

Fig. 2: Topología del circuito de dos nodos.

El vector X incluye cinco componentes definidos por las siguientes formulas: , , , , . El sistema (4) del modelo del circuito incluye dos ecuaciones (M=2) y el procedimiento de optimización  (5) incluye cinco ecuaciones.

Aplicando las leyes de Kirchhoff para este circuito, las dos ecuaciones pueden ser escritas por dos funciones  y :

            (8)

El proceso de diseño comienza con valores iniciales para el vector X(x1,x2,x3,x4,x5) y finaliza cuando se minimiza la función objetivo F(X).

El número de diferentes estrategias de diseño que componen la base estructural es igual a 32 en la teoría generalizada. Sin embargo, no todas las estrategias factibles se resuelven con éxito.

Estrategia (1,1,1,0,0). Esta es la estrategia de diseño tradicional. El procedimiento de optimización se define por las tres ecuaciones del sistema (1) con la función objetivo F(X)=C(X) y con dos ecuaciones (8) que permiten calcular todas las coordenadas del vector X. Las ecuaciones (8) son resueltas por el método de Newton-Raphson. La función objetivo C(X) se define como . Con fines prácticos hacemos que y0=1, a=1, V0=1, m1=0.1V0, m2=0.2.

Estrategia (11111). Esta es la estrategia de diseño tradicional modificada. Cinco ecuaciones del sistema (1) componen el procedimiento de optimización con la función objetivo F(X) pero las ecuaciones (8) desaparecen. La función objetivo F(X) es definida por la forma siguiente: F(X)=C(X)+g12(X)+g22(X).

Otras estrategias son intermedias. Cuatro de estas estrategias aparecen en la metodología previamente desarrollada y ocho estrategias aparecen dentro de la nueva concepción generalizada. Se muestran los resultados numéricos para algunas estrategias de diseño en la tabla 2.

Es muy interesante que algunas nuevas estrategias tienen el tiempo de computadora menor que todas las estrategias anteriores. La ganancia de tiempo de computadora de la estrategia (0,1,0,1,1) es igual a 15.4 con respecto a la estrategia tradicional.

En el circuito de la figura 3, las impedancias no lineales tiene la siguiente dependencia  y . El ejemplo tres incluye nueve parámetros para el vector X definidos por las siguientes formulas: , , , , , , ,  y . El vector de control U incluye nueve componentes .

Tabla 2: Algunas estrategias de la base estructural.

Vector U

Número de
Iteraciones

Tiempo Total
(s)

0,1,0,1,1

5

0.000851

0,1,1,1,1

178

0.016670

1,0,0,1,1

201

0.026235

1,0,1,1,1

3162

0.300000

1,1,0,0,1

23

0.002205

1,1,0,1,0

49

0.100000

1,1,0,1,1

49

0.002405

1,1,1,0,0

107

0.010365

1,1,1,0,1

3063

0.270000

1,1,1,1,0

143

0.013115

1,1,1,1,1

1443

0.116215

 

De la tabla 3, la estrategia (1,1,1,0,1,1,1,0,1) es la óptima y garantiza la ganancia de tiempo 26 veces con respecto a la estrategia tradicional. Resulta muy interesante que esta ganancia es cuatro veces mas grande comparando la mejor estrategia de la teoría anterior.

Tabla 3: Algunas estrategias de la base estructural.

Vector U

Número de iteraciones

Tiempo Total
(ms)

111010001

5

3

111011001

5

2

110111110

119

21

111100101

101

23

111010011

15

13

111011101

5

1

111101001

74

10

111101011

121

25

111101111

159

12

111110000

33

26

111110011

76

12

111110101

24

4

111110111

90

9

111111000

68

35

111111011

78

24

111111101

77

22

111111110

139

13

111111111

131

11


Fig. 3: Topología del circuito de cuatro nodos.

Está claro que análisis posteriores de las nuevas estrategias y de la estrategia óptima por medio de la base estructural más amplia nos ayudarán a definir las características principales del algoritmo de diseño óptimo.

CONCLUSIONES

A partir de los resultados obtenidos, se pueden indicar las siguientes conclusiones: 1) Se desarrolló una nueva y más completa concepción para la metodología de diseño de sistemas electrónicos. 2) Se ha verificado que esta concepción genera una base estructural más amplia de diferentes estrategias de diseño. 3) El número total de las diferentes estrategias que componen la base estructural por esta concepción, es igual a . 4) Algunas nuevas estrategias tienen convergencia mejor así como menor tiempo de computadora que las estrategias que aparecían antes de esta metodología. 5) Estas estrategias de diseño dan más posibilidades de mejorar las características principales del algoritmo de diseño del sistema en tiempo óptimo.

REFERENCIAS

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