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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.16 n.3 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000300003 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°3-2005, págs.: 15-20

MATERIALES

Problemas Numéricos en la Determinación de la Tensión de Cierre en Fatiga Mediante Elementos Finitos

Numerical Problems in the Fatigue Crack Closure Determination using Finite Element Analysis

 

A. González-Herrera, D. García-Vallejo, B. Moreno y J. Zapatero
Universidad de Málaga, Depto. de Ingeniería Civil, de Materiales y Fabricación
E.T.S.I. Industriales, Plaza El Ejido s/n, 29013 Málaga-España (e-mail: agonzalezh@uma.es)


Resumen

Se analizan y discuten los problemas numéricos que aparecen en la determinación de la tensión de cierre en fatiga mediante el método de los elementos finitos. El cierre de grieta y su determinación tiene una especial importancia para la estimación correcta de la vida a fatiga de la grieta. Sin embargo, la complejidad de modelar este proceso implica que la validez de los resultados sea dependiente de la metodología y aproximaciones realizadas, implicando la aparición de diversos problemas numéricos. Los resultados muestran que para la determinación exacta de las tensiones de apertura o cierre se requieren tamaños de malla muy finos, en un número muy superior a las recomendaciones aceptadas hasta la fecha.


Abstract

Some numerical problems that arise in determining fatigue crack closure are analyzed using finite element analysis. The crack closure phenomenon and its measurement have an important impact on the prediction of the crack growth life. However, the complexity of the problem causes that the accuracy of the results is highly dependent on the methodology employed, fact that implies the appearance of some numerical problems. The results show that the exact determination of crack closure or opening computation require very fine mesh, in a number much higher than recommendations suggested in the literature.

Keywords: crack closure, fatigue crack growth, finite elements, minimum element size


 

INTRODUCCIÓN

La estimación precisa de la vida a fatiga de una grieta está directamente relacionada con la determinación correcta de las tensiones de cierre o apertura de la misma. Su medición y estudio experimental es un proceso complejo e impreciso que repercute en una apreciable variabilidad en los resultados obtenidos en función de los procedimientos empleados. Por ello, como alternativa se recurre al análisis numérico, siendo el Método de los Elementos Finitos una de las opciones que mayor precisión aporta desde hace tiempo en la representación del problema del cierre de grieta en fatiga.

Desde los trabajos iniciales de Newman (1974), son muchos los autores que han abordado este problema, siendo una de las referencias más clásicas el trabajo publicado por McClung y Sehitoglu (1989). Otros trabajos recientes de interés que se pueden citar son el de Wei y James (2000), donde se analiza la dificultad de obtener resultados numéricos y experimentales coincidentes, y el de Roychowdhury et al. (2003) donde se aborda el problema de manera tridimensional. Una revisión interesante de los trabajos previos se puede encontrar en Solanki (2004).

Se trata de un problema no lineal con un altísimo coste computacional. La gran dificultad a la hora de modelizar este fenómeno radica en la imposibilidad de reproducir ciclo a ciclo el proceso real (compuesto por miles de ciclos de carga - descarga), ello hace que sea necesario hacer aproximaciones de la realidad (es el caso de la longitudes de avance de grieta entre ciclo y ciclo) que en muchos casos puede hacer que los resultados no sean correctos.

Por ello se hace necesario establecer con precisión un procedimiento que garantice que los resultados obtenidos tengan validez. A partir de referencias y con la propia experiencia adquirida por los autores se ha establecido una metodología específica (ver González-Herrera, 2004) donde uno de los aspectos fundamentales es el tamaño de los elementos que discretizan la zona plástica. Es en esta pequeña zona donde se producen los mayores gradientes de tensiones y deformaciones. Al avanzar la grieta, las deformaciones plásticas van dejando una zona denominada estela plástica que es la responsable del cierre de grieta (figura 1). Siendo, por tanto, este parámetro muy crítico para la determinación de esta magnitud y generador de importantes problemas de tipo numérico que enmascaran los resultados.

 

Fig. 1: Probeta CT utilizada y zona plástica.

 

En este trabajo se recogen los resultados y conclusiones de un análisis amplio de la influencia del tamaño de los elementos de la zona plástica, con objeto de determinar cual es su influencia en los resultados y cual sería la recomendación de mallado con el fin de no penalizar en exceso el coste computacional del problema. Se detecta una relación con el tipo de modelo de plastificación del material y finalmente se realizan recomendaciones de mallado y de interpretación de resultados nuevas, acordes con los resultados obtenidos.

 

METODOLOGÍA

La simulación precisa del cierre de grieta inducido por plasticidad requiere una correcta modelización de la estela plástica y, por tanto, la simulación de un elevado número de ciclos de carga y descarga. La no linealidad del problema (comportamiento plástico del material, modelado del contacto) y la fina discretización en torno al vértice de grieta conforman un problema con muy alto coste computacional. En este apartado se repasa brevemente la metodología seguida, resultado de nuestra experiencia y de referencias, presentando los principales parámetros que influyen (longitud de avance de grieta, tamaño mínimo de elemento, tamaño de la estela simulada, etc.).

Se estudian probetas CT normalizadas (figura 1), con w = 50 mm y longitud de grieta a = 20 mm, de aluminio Al-2024-T35, empleando un modelo elastoplástico perfecto con E = 73 GPa, módulo de Poisson 0.35 y límite elástico 325 MPa.

Para el mallado, se utilizan elementos cuadriláteros de 4 nodos con integración completa y con modos incompatibles. Se ha evitado el uso de elementos triangulares. Los programas de cálculo empleados han sido ABAQUS y ANSYS.El crecimiento de la grieta se consigue liberando las condiciones de contorno de los nodos que entran a formar parte de ella. Por economía se modela media probeta, haciendo uso de la simetría, reproduciendo el cierre de grieta mediante el contacto de los nodos del perfil de la grieta con una superficie rígida. Estos cambios en las condiciones de contorno acrecientan el carácter no lineal del problema.

Se simulan ciclos de carga constante (expresada en términos del factor de intensidad de tensiones, K), con avance de grieta, con varias cargas máximas y varios valores de R (relación de tensiones, R = Kmin/Kmax). La grieta se hace avanzar un elemento en cada ciclo hasta que alcance la longitud en la que se extraen resultados. Se libera un nodo cada vez que se alcanza la carga máxima y se permite un paso adicional (con carga constante) para estabilizar estas nuevas condiciones y favorecer la convergencia en la descarga. En cada ciclo el avance de grieta numérico, Dai, es muy superior al real (de 10 a 100 veces) lo que puede repercutir en los resultados. Tanto el avance de grieta por ciclo (liberando un nodo por ciclo en el instante de carga máxima) como el avance total de la estela ha sido estudiado y ajustado previamente, determinándose el número de elementos y por tanto el número de ciclos necesario.

 

TAMAÑO MÍNIMO DE ELEMENTO

Para minimizar el coste computacional del problema pero garantizando la precisión de los resultados se realizaron diversos estudios en los que el tamaño de elemento mínimo se iba reduciendo en relación con el radio plástico. Con objeto de no tener que obtener modelos distintos para cada ensayo y puesto que en trabajos anteriores se había comprobado que el valor de la carga máxima (Kmax) no tenía influencia en la tensión de apertura, se procedió aumentando K en modelos con mallado fijo, por lo que al crecer el radio plástico se incrementaba el número de divisiones. Este procedimiento implica que para grandes cargas el modelo deja de ser idóneo y, por tanto, se introducen errores que se reflejan en los resultados, no siendo significativos como se verá más adelante.

En la figura 2 se muestran los resultados en tensión plana para relaciones de tensiones de R = 0.1 y R = 0.3, siendo este último del que más cálculos se han realizado. La tensión de apertura, calculada en trabajos anteriores, debe ser distinta para cada valor de R (aproximadamente Kop = 0.64 para R = 0.1 y Kop = 0.695 para R = 0.3)  debiendo ser, sin embargo, la misma para los distintos modelos, las variaciones que se presentan, por tanto, serán atribuibles al modelo de cálculo.

 

Fig. 2: Influencia del número de divisiones del radio plástico en la tensión de apertura Kttop

 

La primera observación que se puede hacer es que, como era de esperar, al aumentar el número de divisiones la tensión de apertura va creciendo hasta un valor aparentemente estable. Con divisiones del orden de 10 elementos en el radio plástico, se observa que aún no se ha alcanzado este valor, aunque ya se esté cerca. Ésta era la recomendación comúnmente aceptada de McClung y Sehitoglu (1989) y usada hasta la fecha en este tipo de trabajos.

En trabajos anteriores se sugirió la necesidad de aumentar el número de divisiones con objeto de captar con mayor precisión el gradiente del campo de deformaciones en la dirección transversal de la grieta, los resultados aquí obtenidos corroboran esta recomendación, observándose como los resultados son estables en el intervalo de 20 a 30 divisiones del radio plástico. Hay que decir que la anterior recomendación de McClung no tenía como objetivo obtener con precisión la tensión de apertura sino discretizar suficientemente la zona plástica, habiéndose demostrado de gran utilidad. No obstante, actualmente parece razonable elevar el mallado y evitar este error si se pretende obtener la tensión de cierre.

A partir de mallados mayores de 30 elementos en el radio plástico empieza a aparecer un fenómeno de difícil explicación, los resultados empiezan a oscilar, dando unas veces valores mayores y otras menores. Además, la convergencia de los problemas se reduce e incluso no es posible finalizar muchos de los cálculos (especialmente con R = 0.1).

Estas oscilaciones son indudablemente achacables a problemas numéricos. En un trabajo de Park et al. (1997) se hizo referencia a un fenómeno de este tipo, en él se definió lo que se denominó tamaño de malla apropiado comparando con resultados experimentales y se sugirió que mallados mas finos no conducían a resultados más precisos.

Aunque las circunstancias de ese trabajo sean diferentes a las del nuestro en algunos aspectos, el concepto de tamaño apropiado de malla cobra aquí interés. En nuestro caso, a parte de pequeños errores debido a reducción en la longitud total de avance de la grieta, acotados en torno a un 2.5 % en el peor de los casos, este fenómeno es atribuible al modelo de plastificación del material. Al utilizar un modelo elastoplástico perfecto, cuando un gran número de elementos están plastificados, se produce un cierto grado de indeterminación en el problema a nivel de deformaciones que puede conducir a soluciones en equilibrio distintas, eso hace que un resultado tan sensible a las deformaciones plásticas acumuladas como es el cierre, presente esa tendencia oscilatoria. Similares resultados se producen para el caso de deformación plana.

A la vista de estos resultados, una primera recomendación sería no sobrepasar el número de divisiones recomendado de 30, no ya solo por ahorro de grados de libertad sino para no distorsionar los resultados. Sin embargo, posteriormente, estos resultados se complementaron con nuevos cálculos en los que el mismo material era simulado por medio de un modelo de plastificación con un leve endurecimiento isotrópico.

Los resultados en este caso mostraron una mayor estabilización tal y como se puede ver en la figura 3 para R = 0.3. Sin embargo, junto a ello se puede observar un ligero cambio de tendencia que indicaría que el tamaño de malla debe ser reducido aún más. Estos resultados estarían en consonancia con los publicados recientemente por Solanki et al. (2003) en el que se aprecia este efecto en modelos en deformación plana. 

 

Fig. 3: Efecto del endurecimiento (H/E=0.003) con R = 0.3

 

Puede apreciarse que todo ello indica que el tamaño mínimo de malla debe ser de un orden menor (10 veces aproximadamente) que las recomendaciones aceptadas comúnmente. Este aspecto ha sido confirmado con trabajos posteriores, implicando una mayor complejidad y un incremento muy importante del coste computacional, inviable por otro lado hasta fechas recientes.   

 

OBTENCIÓN DE LA TENSIÓN DE CIERRE

Otro aspecto que se ha abordado es la propia determinación numérica del fenómeno del cierre. Para la obtención de la tensión de apertura (o cierre) hemos utilizado el criterio definido por Sun y Sehitoglu (1992) de considerar que la grieta abre cuando la tensión perpendicular a la grieta en el vértice pasa de compresión a tracción (Ktt). Este criterio ha estado a menudo en competencia con otro (Knc), más intuitivo, en el que se considera el cierre (o la apertura) cuando algún nodo entra en contacto por primera vez. El problema que presenta este criterio es que es dependiente del tamaño de malla (a mayor separación entre nodos más tarde se dará el contacto), habiéndose usado, no obstante, a menudo.

En trabajos anteriores (González-Herrera et al., 2002) se postuló que este último criterio debía ser convergente hacia el anterior para tamaños de malla muy finos. Con los resultados obtenidos se puede comprobar como esto es así. En las figuras 2 y 3 se representa, en términos de la tensión de apertura (Kop), la diferencia entre ambos criterios (Kttop-Kncop), se observa como la diferencia se reduce al aumentar el número de elementos, a pesar incluso de las oscilaciones en los resultados con el modelo sin endurecimiento.

En la figura 4 se puede ver esta tendencia con mayor claridad, en este caso se han representado los resultados en función de la inversa del número de divisiones del radio plástico, se puede ver como para el caso de infinitas divisiones la tendencia es que la diferencia  se anule. Esta tendencia presenta una leve desviación en los modelos numéricos sin endurecimiento con mallados muy finos debido a los errores acumulados, pero indudablemente se podría decir que para mallados muy finos la distinción entre ambas definiciones se hace innecesaria por la convergencia de ambos.

 

Fig. 4: Influencia del mallado en la diferencia entre criterios Kttop y Kncop.

 

CONCLUSIONES

La primera conclusión de este trabajo es relativa a la utilización de modelos de plastificación del material, la modelización de un ligero endurecimiento (además de corresponderse más con la realidad) reduce las inestabilidades numéricas aumentando la convergencia de los resultados.

Junto a ello, se ha observado que para la determinación precisa de las tensiones de apertura o cierre son necesarios tamaños de malla muy finos, siendo necesario dividir la zona plástica en un número superior a 100, muy por encima de las recomendaciones aceptadas hasta la fecha, lo que abre un interesante campo de trabajo futuro cuyas conclusiones pueden afectar a la interpretación y validez de los resultados obtenidos hasta la fecha.

Por último, se confirma el criterio Ktt como el más idóneo para la consideración del punto de apertura en modelos numéricos de elementos finitos, dada su menor dependencia del mallado. No obstante, se observa que, en el caso de la apertura y para los niveles de mallado que se sugieren en este trabajo, los resultados de ambos criterios convergen y por tanto la distinción resulta superflua.

 

REFERENCIAS

González-Herrera, A., García-Vallejo, D., Moreno, B., Pascual, J. y Zapatero, J., “Simulación de la estela plástica mediante elementos finitos en el crecimiento de grieta en fatiga”, V Congreso de Métodos Numéricos en la Ingeniería, 118 (2002).         [ Links ]

González-Herrera, A., “Determinación numérica  de las  tensiones de  apertura y cierre  de grieta en fatiga”, Tesis Doctoral, Universidad de Málaga, España (2004).         [ Links ]

McClung, R.C. y Sehitoglu, H., On the finite-element analysis of fatigue crack closure, (partes 1 y 2), Engineering Fracture Mechanics, 33, 237-272 (1989).        [ Links ]

Newman, J.C., “Finite-element analysis of fatigue crack propagation – including the effects of crack closure”, Ph. D. thesis, VPI&SU, Blacksburg, VA(1974).        [ Links ]

Park, S.J., Earmme, Y.Y. y Song, J.H., Determination of the most appropriate mesh size for a 2D finite element analysis of fatigue crack closure behaviour, Fatigue & Fracture of Eng. Materials & Structures, 20(4), 533-545 (1997).        [ Links ]

Roychowdhury, S., Dodds, R.H., A numerical investigation of 3-D small-scale yielding fatigue crack growth, Engineering Fracture Mechanics, 70, 2363-2383 (2003).        [ Links ]

Solanki, K., Daniewicz, S.R., Newman, J.C., Finite Element modelling of plasticity-induced crack closure with emphasis on geometry and mesh refinement effects, Engineering Fracture Mechanics, 70, 1475-1489 (2003).        [ Links ]

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