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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.15 n.5 La Serena  2004

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642004000500002 

 

Información Tecnológica-Vol. 15 N°5-2004, págs.: 9-16

INGENIERÍA MECÁNICA

Diseño de una Transmisión Mecánica para Realizar la División Diferencial

Design of a Mechanical Transmission for Differential Indexing

D.R. Salgado y A.G. González
Univ. de Extremadura, Dpto. de Electrónica e Ingeniería Electromecánica, Centro Universitario de Mérida, Sta. Teresa de Jornet Nº38, 06800 Mérida-España
(e-mail: drs@unex.es)


Resumen

El objetivo del presente trabajo es diseñar una transmisión mecánica, que incluida en un divisor diferencial, permita la división de una pieza en un número primo de divisiones iguales. Para este propósito, se analizó en primer lugar el funcionamiento de un divisor diferencial. Luego se calcularon las relaciones de transmisión necesarias para poder realizar todas las divisiones primas hasta 307. Un análisis de las relaciones de transmisión obtenidas demostró que puede reducirse significativamente el número de etapas de la transmisión mecánica. Este resultado permite diseñar una transmisión más compacta y menos compleja desde un punto de vista mecánico. Finalmente, se propone el diseño de una transmisión de varias etapas, entre las que se incluyen dos etapas epicicloidales en serie para reducir aún más las dimensiones finales del conjunto.


Abstract

The objective of the present work is to design a mechanical transmission that, included in a differential dividing-head, allows division of a piece into a prime number of equal divisions. For this purpose, the functioning of a differential divider was analyzed first. Then, the required transmission ratios were calculated to obtain all divisions up to 307. An analysis of the transmission ratios demonstrated that the number of stages of the mechanical transmission can be reduced significantly. This result allowed the design of a more compact and mechanically less complex transmission system. Finally, the design of a several-stage transmission is proposed, among which are included two epicyclical stages in series for further reducing the final dimensions of the set.

 Keywords: differential indexing, mechanical transmission, epicyclical transmission, transmission design


 

INTRODUCCIÓN

En el proceso de mecanizado de piezas con forma regular en su periferia, tales como engranajes, machos de roscar, fresas, etc. debe utilizarse un cabezal divisor que permita el giro de la pieza el ángulo necesario. El aparato divisor más complejo por su diseño, es el utilizado en la división de una pieza en espacios iguales, cuando el número de divisiones es primo. Este dispositivo se conoce con el nombre de aparato divisor diferencial, y se emplea en aquellas máquinas herramientas que no disponen de un control numérico para realizar el giro de la pieza. Su empleo requiere la selección de un juego de engranajes que determinen una relación de engrane concreta para cada número primo de divisiones que se desee realizar. Es por ello que resulta un tanto tedioso trabajar con estos aparatos. Un esquema cinemático y una explicación más detallada del funcionamiento de un aparato divisor puede encontrarse en (Chernov, 1989; Lasheras, 2000).

El objetivo de este trabajo es diseñar una transmisión mecánica, que sustituya el juego de engranajes que debe seleccionarse y montarse actualmente en el aparato divisor para cada una de las divisiones primas. En concreto, se ha diseñado para obtener todas las divisiones primas hasta un máximo de 307 divisiones. De este modo, únicamente debe seleccionarse la relación de transmisión concreta para la división prima que se desee. Esto supone una ventaja tanto en la reducción de tiempo como en la facilidad de preparación de la operación de mecanizado.

El diseño propuesto consta de varias etapas, entre las que se incluyen tres etapas basadas en transmisiones convencionales y otras dos en trenes de engranajes epicicloidales. Este último tipo de transmisión está siendo ampliamente estudiado en la actualidad por presentar reducidas dimensiones, de ahí su empleo para el propósito aquí expuesto. La enumeración y síntesis de estos mecanismos puede encontrarse en la literatura (Buchsbaum y Freudenstein, 1970; Hsu y Lam, 1985; Hsu y Lam, 1992; Pennestri, et al., 1993; Buchsbaum y Freudenstein, 1997; Hsu y Hsu, 1997; Del Castillo, 2002).

 

DIVISIÓN DIFERENCIAL

Cuando el número de divisiones es primo, se realiza la denominada división diferencial con un aparato divisor cuyo esquema cinemático se muestra en la Fig. 1. Entre los ejes numerados con 5, se sitúa la transmisión cuya relación de giro entre la salida y la entrada debe ser la adecuada para obtener el número primo de divisiones deseado.

En la Fig. 1, el “1” representa la manivela que permite girar el ángulo necesario (entrada del aparato divisor), mientras que la pieza se sujeta solidaria al eje “3”. El “2” corresponde al plato perforado y el “4” al tornillo sinfín. El principio de funcionamiento de estos dispositivos consiste en corregir mediante un giro del plato perforado, el ángulo que debería existir entre las perforaciones para que el número de divisiones obtenidas sea primo. Esto se realiza mediante una transmisión situada entre los ejes marcados con “5” de modo que el plato perforado pueda girarse el ángulo necesario. Lógicamente para cada una de las divisiones primas esta relación de transmisión es distinta, y además varía en función del número de divisiones elegidas en el plato divisor (número de perforaciones que presente). Una explicación más detallada de cómo debe ser dicha relación de engrane puede encontrarse en (Chernov, 1989).

La relación de transmisión entre dichos ejes, depende tanto de la relación de transmisión del tornillo sinfín (normalmente 1/40) como del número de agujeros del plato perforado elegido para tal división. En este artículo, se estudian las relaciones de transmisión necesarias para obtener todos los números primos hasta el 307, y se plantea una forma de escalonar las relaciones de transmisión en varias etapas, conjugándolo con el número de agujeros seleccionados en el plato.

El número de relaciones de transmisión necesarias es 40, aunque este número se reduce si no se considera el sentido de giro, ya que éste puede realizarse con un inversor. Las etapas construidas con trenes de engranajes planetarios están basadas en la transmisión de cuatro miembros con entrada por el sol.

Fig. 1: Esquema del divisor diferencial.

 

METODOLOGÍA

El giro de corrección que debe sufrir el plato perforado para realizar las divisiones deseadas puede calcularse de forma relativamente sencilla. Mediante un ejemplo intuitivo se indica la forma de realizar este cálculo.

Suponiendo que se desean realizar 127 divisiones y que se dispone de un plato perforado de 120 agujeros y un tornillo sinfín con relación de transmisión de 1/K; por cada giro completo de la pieza (eje “3”) se debe poder hacer 127 paradas en determinados agujeros de dicho plato. Esto sólo es posible, si a la vez que se da un giro de 360o a la manivela (1), el plato gira en sentido contrario el ángulo correspondiente al arco que corresponde a 7 de sus divisiones. De lo anterior se deduce que, el giro (medido en grados) que debe sufrir el plato en sentido contrario a la manivela es:

                             (1)

donde: Nplato es el número de divisiones del plato perforado y N es el número de divisiones que se desea realizar.

Con el resultado anterior, determinar la relación de transmisión necesaria entre los ejes marcados con “5” es sencillo, sólo debe tenerse en cuenta la reducción que introduce el tornillo sinfín. Así, expresando la relación del giro del plato perforado respecto al giro de la manivela, comunicados por el circuito del sinfín y por la transmisión entre los ejes “5” se tiene:

           

      (2) 

dondees la relación de transmisión requerida para el plato perforado.

La relación del sinfín debe ser eliminada por la transmisión que se incluya entre los ejes mencionados. Por tanto, la relación de engrane que debe establecerse entre los ejes numerados con “5”, deberá ser la misma que , pero sin estar afectada por la relación del sinfín. De este modo:

                            (3)

La ecuación (3) es la que permite calcular la relación de transmisión requerida entre los ejes mencionados, y que como puede observarse depende del número de agujeros del plato perforado y de la relación de transmisión del sinfín.

Utilizando la expresión anterior para los números primos hasta el 307 y empleando distintos platos perforados, se obtienen las relaciones de transmisión que se muestran en la tabla 1. Estos valores han sido calculados con K=40.

Analizando las relaciones de engrane deducidas en la tabla 1, podría parecer en principio que su número es elevado al ser todas ellas distintas. Además, no parece existir una clara posibilidad de conjugar dichas relaciones de transmisión en distintas etapas. Sin embargo, si se elimina de la expresión (3) el valor de la relación inversa del sinfín y el número de agujeros del plato perforado, puede comprobarse que las relaciones de transmisión necesarias pueden dividirse en varias etapas sin gran dificultad, comprobando además que muchas de estas relaciones se repiten.

En la tabla 2 se muestran los valores obtenidos. Estos valores deben ir afectados para obtener la relación de transmisión deseada por el valor que se indica entre paréntesis en la primera fila de cada columna. En las columnas se indica el número de agujeros del plato perforado y entre paréntesis aparece la relación entre: la relación inversa del sinfín (K) y el número de perforaciones del plato (Nplato) empleado en cada una de las relaciones de transmisión calculadas. Las relaciones de engrane se obtienen multiplicando el valor entre paréntesis de cada columna por el número correspondiente de cada celda de la tabla.

Para  utilizar las  mínimas  relaciones de  transmisión, se han seleccionado en la tabla 2 las que aparecen en cursiva y negrita (también se identifican de esta forma en la tabla 1), que como puede observarse se repiten (eliminando el sentido de giro).

 

Tabla 1: Relaciones de transmisión entre los ejes "5" necesarias para la división.

Nº.
Primos

Número de agujeros de los platos perforados

40

80

120

160

200

240

280

79

-39

0,5000

13,6667

20,2500

24,2000

26,8333

28,7143

83

-43

-1,5000

12,3333

19,2500

23,4000

26,1667

28,1429

89

-49

-4,5000

10,3333

17,7500

22,2000

25,1667

27,2857

97

-57

-8,5000

7,6667

15,7500

20,6000

23,8333

26,1429

101

-61

-10,5000

6,3333

14,7500

19,8000

23,1667

25,5714

103

-63

-11,5000

5,6667

14,2500

19,4000

22,8333

25,2857

107

-67

-13,5000

4,3333

13,2500

18,6000

22,1667

24,7143

109

-69

-14,5000

3,6667

12,7500

18,2000

21,8333

24,4286

113

-73

-16,5000

2,3333

11,7500

17,4000

21,1667

23,8571

127

-87

-23,5000

-2,3333

8,2500

14,6000

18,8333

21,8571

131

-91

-25,5000

-3,6667

7,2500

13,8000

18,1667

21,2857

137

-97

-28,5000

-5,6667

5,7500

12,6000

17,1667

20,4286

139

-99

-29,5000

-6,3333

5,2500

12,2000

16,8333

20,1429

149

-109

-34,5000

-9,6667

2,7500

10,2000

15,1667

18,7143

151

-111

-35,5000

-10,3333

2,2500

9,8000

14,8333

18,4286

157

-117

-38,5000

-12,3333

0,7500

8,6000

13,8333

17,5714

163

-123

-41,5000

-14,3333

-0,7500

7,4000

12,8333

16,7143

173

-133

-46,5000

-17,6667

-3,2500

5,4000

11,1667

15,2857

179

-139

-49,5000

-19,6667

-4,7500

4,2000

10,1667

14,4286

181

-141

-50,5000

-20,3333

-5,2500

3,8000

9,8333

14,1429

191

-151

-55,5000

-23,6667

-7,7500

1,8000

8,1667

12,7143

193

-153

-56,5000

-24,3333

-8,2500

1,4000

7,8333

12,4286

197

-157

-58,5000

-25,6667

-9,2500

0,6000

7,1667

11,8571

211

-171

-65,5000

-30,3333

-12,7500

-2,2000

4,8333

9,8571

223

-183

-71,5000

-34,3333

-15,7500

-4,6000

2,8333

8,1429

227

-187

-73,5000

-35,6667

-16,7500

-5,4000

2,1667

7,5714

231

-191

-75,5000

-37,0000

-17,7500

-6,2000

1,5000

7,0000

233

-193

-76,5000

-37,6667

-18,2500

-6,6000

1,1667

6,7143

239

-199

-79,5000

-39,6667

-19,7500

-7,8000

0,1667

5,8571

241

-201

-80,5000

-40,3333

-20,2500

-8,2000

-0,1667

5,5714

251

-211

-85,5000

-43,6667

-22,7500

-10,2000

-1,8333

4,1429

257

-217

-88,5000

-45,6667

-24,2500

-11,4000

-2,8333

3,2857

263

-223

-91,5000

-47,6667

-25,7500

-12,6000

-3,8333

2,4286

269

-229

-94,5000

-49,6667

-27,2500

-13,8000

-4,8333

1,5714

271

-231

-95,5000

-50,3333

-27,7500

-14,2000

-5,1667

1,2857

277

-237

-98,5000

-52,3333

-29,2500

-15,4000

-6,1667

0,4286

281

-241

-100,5000

-53,6667

-30,2500

-16,2000

-6,8333

-0,1429

283

-243

-101,5000

-54,3333

-30,7500

-16,6000

-7,1667

-0,4286

293

-253

-106,5000

-57,6667

-33,2500

-18,6000

-8,8333

-1,8571

307

-267

-113,5000

-62,3333

-36,7500

-21,4000

-11,1667

-3,8571

 

Tabla  2: Datos (Nplato-N) para todas las divisiones primas hasta 307.

Nº.
Primos

Número de agujeros de los platos perforados (Relación de transmisión)

40

80 (1/2)

120 (1/3)

160 (1/4)

200 (1/5)

240 (1/6)

280 (1/7)

79

-39

1

41

81

121

161

201

83

-43

-3

37

77

117

157

197

89

-49

-9

31

71

111

151

191

97

-57

-17

23

63

103

143

183

101

-61

-21

19

59

99

139

179

103

-63

-23

17

57

97

137

177

107

-67

-27

13

53

93

133

173

109

-69

-29

11

51

91

131

171

113

-73

-33

7

47

87

127

167

127

-87

-47

-7

33

73

113

153

131

-91

-51

-11

29

69

109

149

137

-97

-57

-17

23

63

103

143

139

-99

-59

-19

21

61

101

141

149

-109

-69

-29

11

51

91

131

151

-111

-71

-31

9

49

89

129

157

-117

-77

-37

3

43

83

123

163

-123

-83

-43

-3

37

77

117

173

-133

-93

-53

-13

27

67

107

179

-139

-99

-59

-19

21

61

101

181

-141

-101

-61

-21

19

59

99

191

-151

-111

-71

-31

9

49

89

193

-153

-113

-73

-33

7

47

87

197

-157

-117

-77

-37

3

43

83

211

-171

-131

-91

-51

-11

29

69

223

-183

-143

-103

-63

-23

17

57

227

-187

-147

-107

-67

-27

13

53

231

-191

-151

-111

-71

-31

9

49

233

-193

-153

-113

-73

-33

7

47

239

-199

-159

-119

-79

-39

1

41

241

-201

-161

-121

-81

-41

-1

39

251

-211

-171

-131

-91

-51

-11

29

257

-217

-177

-137

-97

-57

-17

23

263

-223

-183

-143

-103

-63

-23

17

269

-229

-189

-149

-109

-69

-29

11

271

-231

-191

-151

-111

-71

-31

9

277

-237

-197

-157

-117

-77

-37

3

281

-241

-201

-161

-121

-81

-41

-1

283

-243

-203

-163

-123

-83

-43

-3

293

-253

-213

-173

-133

-93

-53

-13

307

-267

-227

-187

-147

-107

-67

-27

 

En el ejemplo que se ha tomado debe tenerse en cuenta para su ejecución práctica, que la relación del tornillo sinfín implica que el primer agujero en el que se pare no sea el primero, sino uno que implique un ángulo 40 veces mayor (inverso a su relación de reducción), es decir, hay que ir saltando del agujero 40 al 80, del 80 al 120 y nuevamente al 40 y así sucesivamente hasta completar las 127 paradas correspondientes a las 127 divisiones.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Con todas las relaciones de engrane calculadas, y comprobando que puede reducirse su número, se plantea ahora el diseño de una transmisión que proporcione todas esas relaciones de transmisión. En la Fig. 2 se muestra el esquema cinemático de la transmisión propuesta para obtener todas las relaciones de engrane requeridas. Como puede observarse, en el recuadro marcado con la letra “A” hay dos etapas de transmisiones planetarias que pueden o no conectarse en serie mediante el embrague E2. Al final de estas dos etapas se pueden obtener las relaciones reductoras 1/2, 1/3 y 1/6. Esta última relación de transmisión se obtiene con la sucesión de las dos etapas planetarias conectadas en serie.

Con la etapa marcada con la letra “B”, pueden transmitirse al eje de salida las relaciones obtenidas en la etapa anterior o pueden conseguirse las reducciones 1/4, 1/5 y 1/7. Para obtener estas reducciones es necesario que en la etapa “A” se seleccione la reducción 1/2.

De este modo se obtienen todas las relaciones de reducción (entre paréntesis en la tabla 2), y con las etapas sucesivas se obtienen las multiplicaciones de la velocidad indicadas en la tabla 2 (cada una de las celdas).

Las relaciones de transmisión multiplicadoras se obtienen con la etapa “C”, o con las etapas “C”  y “D”. En todos los cambios de etapa se ha dispuesto una relación de transmisión igual a la unidad, para aquellos casos en que no es necesario modificar la relación ya obtenida, y para poder transmitirla al eje de salida.

Con la etapa “C”, se multiplica por 2, 3 ó 4 la relación de transmisión. Únicamente la multiplicación por 3 es un caso de los que pueden encontrarse en la tabla 2, los otros dos se han introducido para obtener en una segunda multiplicación (etapa “D”) los valores más elevados. Las multiplicaciones por 2 y por 3 conseguidas en “C” se emplean para obtener las relaciones finales de 7 y 9 respectivamente, y con la multiplicación por 4 el resto.

 

 

 

En la tabla 3 se indican los elementos activos y no activos de  la transmisión  propuesta para cada una de las relaciones de engrane necesarias para obtener la división diferencial. En aquellas relaciones en las que las etapas “C” y “D” no tienen valor, es debido a que en esas relaciones únicamente se emplean las otras dos etapas y se conecta directamente con la salida mediante el embrague E6.

 

Tabla 3: Elementos activos en cada una de las relaciones de transmisión.

Etapas

Etapas

Relación Transmisión

A

B

C

D

Relación Transmisión

A

B

C

D

0,5000

1/2

1

1,8000

1/2

1/2,5

3

3

-1,5000

1/2

1

3

1

1,4000

1/2

1/2,5

2

3,5

-4,5000

1/2

1

3

3

0,6000

1/2

1/2,5

3

1

-8,5000

1/2

1

4

4,25

-2,2000

1/2

1/2,5

4

2,75

6,3333

1/3

1

4

4,75

2,8333

1/6

1

4

4,25

5,6667

1/3

1

4

4,25

2,1667

1/6

1

4

3,25

4,3333

1/3

1

4

3,25

1,5000

1/6

1

3

3

3,6667

1/3

1

4

2,75

1,1667

1/6

1

2

3,5

2,3333

1/3

1

2

3,5

0,1667

1/6

1

-2.3333

1/3

1

2

3,5

-0,1667

1/6

1

-3,6667

1/3

1

4

2,75

-1,8333

1/6

1

4

2,75

-5,6667

1/3

1

4

4,25

-2,8333

1/6

1

4

4,25

-6,3333

1/3

1

4

4,75

2,4286

1/2

1/3,5

4

4,25

2.7500

1/2

1/2

4

2,75

1,5714

1/2

1/3,5

4

2,75

2,2500

1/2

1/2

3

3

1,2857

1/2

1/3,5

3

3

0,7500

1/2

1/2

3

1

0,4286

1/2

1/3,5

3

1

-0,7500

1/2

1/2

3

1

-0,1429

1/2

1/3,5

-3,2500

1/2

1/2

4

3,25

-0,4286

1/2

1/3,5

3

1

-4,7500

1/2

1/2

4

4,75

-1,8571

1/2

1/3,5

4

3,25

3,8000

1/2

1/2,5

4

4,75

-3,8571

1/2

1/3,5

4

6,75

 

Por tanto, todas las relaciones de engrane necesarias para realizar la división diferencial de todos los números primos hasta el 307, pueden sintetizarse en una transmisión de cuatro etapas.

 

CONCLUSIONES

En este artículo se ha mostrado el diseño de  una transmisión, que permite mediante la selección de la relación de transmisión adecuada, realizar el número de divisiones primas que se requiera, sin necesidad de tener que calcular la relación en cada caso concreto; como se realiza actualmente con los divisores diferenciales convencionales.

Desde este punto de vista, la inclusión de una transmisión como la propuesta en un aparato divisor  diferencial,  permite  realizar el proceso de división reduciendo el tiempo de trabajo. Además aumenta la fiabilidad, ya que se reduce la posibilidad de cometer un error al seleccionar la relación de engrane adecuada respecto del  caso en que debe realizarse eligiendo los engranajes necesarios. En el diseño se han respetado las relaciones de transmisión máximas para cada par de engrane dadas  por  las  Normas AGMA 6123-A88. Estas mismas relaciones de engrane son también las empleadas por Muller (1982) en sus diseños.

De las Normas AGMA y del trabajo de Muller puede deducirse que, respetando estos valores (1/5-5) para cada una de las relaciones de dentado de todos los pares de engrane de la transmisión, se consiguen diseños más compactos, algo que sin duda debe considerarse siempre como un objetivo en el diseño de cualquier transmisión mecánica.

 

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología el apoyo al Proyecto de Investigación TRA99-0649-C02.

 

REFERENCIAS

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