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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.15 n.3 La Serena  2004

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642004000300005 

 

Información Tecnológica-Vol. 15 N° 3-2004, págs.: 31-38

INGENIERÍA ELÉCTRICA

Modelado del Ciclo de Histéresis Mediante el Modelo de Preisach

Modeling Hysteresis Cycles Using the Preisach Model

 

A. de Blas, R. Bargalló y J. de la Hoz

Univ. Politécnica de Cataluña, Dpto. de Ingeniería Eléctrica, E.U.I.T.I.B., Urgell Nº 187, 08036 Barcelona-España (e-mail: alfredo.de.blas@upc.es)


Resumen

En el presente artículo se presenta el modelo de Preisach como alternativa a aproximaciones analíticas para caracterizar la histéresis magnética en métodos numéricos aplicados a cálculo o análisis en ingeniería eléctrica. Se exponen los fundamentos del modelo de Preisach clásico y se muestran las alternativas para su caracterización. Para el método elegido se propone un ajuste que permite obtener buenos resultados con un número pequeño de curvas experimentales. Se presenta además un algoritmo genérico para su desarrollo como método numérico. Finalmente se propone un ensayo alternativo que permite la obtención de los datos experimentales para la caracterización del modelo sin necesidad de equipos sofisticados. Se concluye que el modelo de Preisach clásico es un sistema de fácil realización como método numérico, permitiendo predecir el valor de la inducción para un valor de intensidad de campo instantáneo considerando su historial anterior.


Abstract

In this paper the Preisach model as an alternative to analytical approximations to characterize magnetic hysteresis in numerical methods applied to calculations or analyses in electrical engineering, is presented The fundamentals of the classical Preisach model are explained showing alternatives for its definition. A fit is proposed for the method chosen which obtains good results using a small number of experimental curves. A generic algorithm for its solution as a numerical method is also presented. Finally, an alternative assay is proposed which allows obtaining experimental data for definition of the model without the need for sophisticated equipment . It is concluded that the classical Preisach model is as simple a system for execution as the numerical method, permitting prediction of the value of the induction for an instantaneous value of field intensity, based on prior performance.

Keywords: electrical engineering, hysteresis modeling, Preisach model, electromagnetism


 

INTRODUCCIÓN

Con el desarrollo de los ordenadores personales los métodos numéricos han adquirido una importancia trascendental en los cálculos y el análisis en ingeniería.

En el ámbito de la ingeniería eléctrica, y más concretamente de los sistemas con circuitos magnéticos, los métodos numéricos presentan la complicación de la doble no linealidad de la característica magnética, saturación e histéresis. Generalmente esta característica se aborda mediante aproximaciones por funciones analíticas a la curva de anhistéresis, esto permite tratar la saturación, pero no re-suelve la histéresis.

Modelizar la histéresis siempre ha centrado los esfuerzos de los investigadores. En el transcurso del siglo XX han ido apareciendo múltiples intentos de modelizar la histéresis. De todos ellos, unos pocos han perdurado como modelos clásicos, el modelo de Stoner-Wohlfarth (Stoner y Wohlfarth, 1991), el modelo de Jiles-Atherton (Jiles y Atherton, 1986) y el modelo de Preisach (Preisach, 1935; Mayergoyz, 2003). De ellos, únicamente el modelo de Jiles-Atherton y el de Preisach son aplicables para cálculos de ingeniería.

El modelo de Jiles-Atherton desarrollado co-mo método numérico resulta en un código complicado que necesita de una extensión para cerrar ciclos menores asimétricos. En su caracterización se deben calcular cinco parámetros en su versión clásica, si bien los datos empíricos para su cálculo son de fácil obtención, el ciclo límite, la curva de primera inducción y la curva de anhistéresis.

El modelo de Preisach, pese a su estigma de modelo fenomenológico, en su versión clásica es idóneo para desarrollo como método numérico. Es capaz de calcular la inducción para cualquier historial de intensidad de campo. Pese a sus carencias, que se irán analizando, es el modelo que se propone para su empleo en ingeniería eléctrica y el que se desarrolla en el presente artículo.

Para su caracterización, el modelo de Preisach, sólo requiere de un parámetro, el cual es ajustable a curvas factorizadas pero este método de caracterización no da buenos resultados en materiales suaves. Otra opción es la caracterización por interpolación o no paramétrica (Mayergoyz, 2003), la cual ofrece buenos resultados independientemente del tipo de material y resulta en un método numérico de desarrollo sencillo, pero como datos experimentales necesita de un conjunto de al menos quince curvas inversas de primer orden. Las curvas inversas no son simples de obtener, en la literatura sobre el tema es común emplear un magnetómetro de muestra vibrante (Mayergoyz, 2003; Salling y Schultz, 1988). Se trata de un equipo sofisticado que no está al alcance de todos los laboratorios.

En el presente artículo se propone una versión modificada del ensayo de Rowland (de Blas et al. 2003) para obtener las curvas inversas de forma económica y simple

El número de curvas inversas necesarias para caracterizar el modelo se puede reducir mediante la técnica propuesta en el artículo. Se trata de una doble interpolación a tramos por polinomios de Hermite cúbicos. Con este sistema, únicamente son necesarias cuatro curvas experimentales.

Como validación se aplica el modelo con el método de caracterización propuesta para analizar el núcleo de un transformador trifásico. Los resultados obtenidos, como se muestran en las figuras anexas son excelentes.

EL MODELO DE PREISACH

Fundamentos

El modelo de Preisach es fenomenológico, predice la respuesta de un sistema con histéresis sin reproducir ningún proceso físico real. Se trata de un sistema de ajuste de curvas muy sofisticado. Describe al sistema con histéresis como una colección de operadores de histéresis superpuestos.

Un operador de histéresis, UabH(t), es un ciclo elemental, con dos estados estables, +1 o -1, que adopta en función del valor de la intensidad de campo H(t). Conmuta de -1 a +1 cuando la H>a, y de +1 a -1 cuando H<b. A ayb se les denomina campos de conmutación.

El operador de histéresis también puede formularse en función del campo coercitivo o crítico (hk) y el campo de interacción (hi).

Si se representan los valores de conmutación en un plano a-b plano de Preisach, a cada punto del plano corresponde a un operador.



Fig. 1: Operador de histéresis

Puede haber tantos operadores como valores de intensidad de campo pueda estar sometido el sistema, estos es, infinitos, pero no es necesario considerarlos todos, hay operadores carentes de significado físico. Esto nos permite restringir el plano de Preisach.

Los operadores con a<b carecen de significado fsico, esto restringe el plano al semiplano con a>b, limitado por la recta a=b. Además, necesariamente se debe definir un ciclo de histéresis límite, esta es una restricción que impone el propio usuario, se considera que el material no estará expuesto a campos superiores a los del ciclo límite. En definitiva, es posible restringir el plano de Preisach al triángulo formado limitado por las rectas a=b, a=HS y b-Hs (ver figura fig. 2).



Fig. 2: Plano a-b para un H(t) determinado

La inducción B(t) para un historial de H(t) determinado viene definida por el valor de cada uno de los operadores del plano a-b. Este se hallará siempre dividido en dos zonas en función del valor de cada operador de histéresis, la zona de operadores en +1 (zona S+) y la zona de operadores en -1 (zona S-). La frontera entre ambas zonas es la línea L(t). Esta línea depende de los extremos máximos y mínimos del historial de la intensidad de campo. Así el área de ambas zonas S+ y S- en momento de terminado, depende del historial del campo hasta ese instante.

Sea m(ab)dadb el número de operadores en un elemento diferencial dadb del plano a-b, donde m(ab) es la función de densidad de operadores o función de Preisach. Empleando la función densidad, el modelo de Preisach se puede representar matemáticamente como:

(1)

Donde BS es el valor de la inducción en la saturación del ciclo límite. La función densidad de operadores depende directamente del material a analizar.

Propiedades del modelo de Preisach

El modelo clásico de Preisach presenta dos propiedades. La primera es la propiedad de borrado. La línea L(t) describe el estado del sistema, pero esta línea no depende del historial de H(t) completo, únicamente es modificada por los puntos máximos y mínimos de H(t).

La segunda propiedad es la de congruencia. Sean dos historiales de intensidad de campo distintos. Las dos líneas de estado L(t) de ambos historiales serán diferentes. Se supone que a partir de cierto instante to ambos historiales coinciden. Desde ese momento las dos líneas de estado forman en el plano a-b un triángulo idéntico. Así pues, ambas describen ciclos iguales, pero desplazados verticalmente por partir de estados iniciales diferentes.

Mayergoyz (2003), ha demostrado que cualquier sistema con histéresis, para poder ser representado por el modelo de Preisach debe cumplir estas dos propiedades.

La integral de Everett

Sea la trayectoria de la figura 3, se trata de una curva inversa de primer orden, para este tipo de curvas el plano de Preisach adopta la configuración mostrada a la derecha de la misma figura. Sobre dicha curva definimos integral de Everett como la siguiente función:

(2)

Del plano a-b de la figura 3 y la expresión (2) se deduce:

(3)

y por tanto:

(4)

En conclusión, se puede determinar la función densidad m(a,b) directamente de la derivada de una curva inversa de primer orden. Se puede emplear (4) como base para caracterizar el modelo de Preisach, si bien no es éste el único ni el mejor método.



Fig. 3: Curva inversa de primer orden con su correspondiente evolución del plano de Preisach

CARACTERIZACIÓN

Los dos parámetros a calcular para caracterizar el modelo son BS y la densidad de operadores m(ab). El primero se determina directamente del ciclo límite, para la densidad de operadores se disponen de varias posibilidades.

Se debe tener presente que la opción adoptada para caracterizar la función densidad de operadores va a mediatizar el desarrollo nu-merico del modelo de Preisach.

Caracterización paramétrica o por ajuste

Consiste en ajustar la densidad de operadores a una función, este ajuste se puede realizar a partir de la curva límite si suponemos un comportamiento gaussiano del campo coercitivo (Della Torre, 1999) o por ensayo y error. Merced a que m(a,b) presenta una propiedad de factorización (Bertotti, 1998; Henze y Rucker, 2000; Della Torre, 1999), es posible ajustarla a curvas factorizadas, cuya expresión matemática es más sencilla.

Se ha probado el ajuste de la densidad de operadores a una lorentziana factorizada tal como la de la ecuación (5), una gaussiana-lognormal y una gaussiana-gaussiana. Posteriormente se han comparado las distribuciones de densidades de operadores anteriores con la obtenida mediante (4) a partir de la integral de Everett determinada empíricamente.

(5)

Si bien la curva lorentziana (5) ofrece los mejores resultados de todas las curvas probadas, en ningún caso son válidos. Estos malos resultados obtenidos concuerdan con lo predicho por Cardelli et al. (2003). En materiales magnéticos blandos, como lo es el núcleo del transformador trifásico de nuestro ensayo, la distribución de la densidad de operadores presenta un pico demasiado escarpado, los campos coercitivos (Hc) son demasiado pequeños y no gaussianos.

En consecuencia este método de caracterización no es apto para aplicaciones de máquinas eléctricas. Presenta además otro inconveniente, implica realizar numéricamente el modelo de Preisach tal y como está en la ecuación (1) con las dos integrales dobles, lo cual ralentiza el tiempo de cálculo del ordenador.

Caracterización no paramétrica.

Es la caracterización más adecuada para nuestro ámbito de aplicación. Se trata de aplicar la definición de integral de Everett y su consecuencia, la ecuación (4). Como expondremos en el apartado "Desarrollo" a partir de esta caracterización se puede realizar un desarrollo como método numérico aplicando di-rectamente la integral de Everett. En todo caso se ha calcular dicha función y posteriormente la función densidad si se necesita.

Para aplicar esta caracterización se debe obtener un conjunto de curvas de primer orden experimentales y con ellas calcular la integral de Everett para cada punto del plano de Preisach. Para obtener buenos resultados se necesita un conjunto considerable de curvas (Rouvre y Waekerle, 1995), para evitar este problema, se propone la interpolación a tramos por polinomios de Hermite (de Blas et al, 2003).



Fig. 4: Comparación del ciclo límite empírico y obtenido a partir del ajuste por lorentziana

Cálculo de integral de Everett

Se trata de realizar un entramado del plano a-b y determinar E(a,b) para cada punto de dicho entramado. Evidentemente estos puntos E(a,b) se obtendrón de las curvas inversas de primer orden experimentales según (2). Si se realiza el ensayo para obtener curvas descendentes (las curvas ascendentes son simétricas) la precisión en el eje a del entramado depende del número de puntos experimentales tomado en cada curva inversa, mientras que en el eje bla precisión depende del número de curvas inversas de primer orden tomadas. Esto es un problema pues se necesita un número considerable de curvas inversas para construir la integral de Everett de una forma representativa que no afecte a los resultados de las predicciones de B(t) del modelo de Preisach.

La solución que se propone es realizar una interpolación a tramos por polinomios de Her-mite cúbicos. En primer lugar se establece el entramado con el número de puntos (precisión) deseado del plano a-b. Con ello se interpola a tramos por polinomios de Hermite cúbicos cada curva inversa para los puntos del eje a. Con las curvas inversas interpoladas se calculan los E(a,b) para cada curva, habrán únicamente los valores b correspondientes a dichas curvas. A partir de los E(a,b) calculados se realiza una segunda interpolación a tramos por polinomios de Hermite , pero esta vez para el eje b del plano de Preisach. Obteniendo así los valores de E(a,b) para cada punto del entramado.

Aplicando está técnica, con únicamente cuatro curvas inversas (más la curva límite) se han obtenido resultados excelentes como se mostrará en apartado de resultados.

DESARROLLO

Una vez caracterizado el siguiente paso es desarrollar el modelo como método numérico

Por aplicación directa de la definición matemática

Consiste en aplicar la ecuación (1). Este método presenta la desventaja de tener que realizar primero una doble derivada de la integral de Everett para determinar la función densidad, y después la integral doble de (1), esto implica un consumo considerable de tiempo de cálculo y amplificar los posibles errores de las curva experimentales.

Por integrales de Everett. Método de Mayer-goyz (2003)

Consiste en formular el modelo de Preisach en función de las integrales de Everett. Con esté método evitamos la doble derivada de la función densidad y la integral doble de (1).



Fig. 5: División de S+(t) en trapezoides

Partiendo de (1), (3) y dividiendo la región positiva del plano de Preisach en trapezoides como en la figura 5, se puede demostrar (Mayergoyz, 2003):

(6)

La propuesta de estos autores es aplicar este método de Mayergoyz con la siguiente variación. Aplicando (6) a una curva inversa de pri-mer orden con punto de inversión H1 se ob-tiene:

(7)


Esta expresión es muy interesante pues per-mite desarrollar un algoritmo genérico que se adapte a cualquier excitación sin necesidad de desarrollar la sumatoria de (6), únicamente se debe partir del valor de la inducción del último máximo acontecido. Los diversos cam-bios que se van produciendo en la excitación, en el plano de Preisach se traducen en añadir o quitar integrales de Everett. Esto resulta en un algoritmo más simple, pues sólo se debe almacenar el último máximo producido y su correspondiente inducción e ir sumando o restando integrales de Everett.

ENSAYO DE CARACTERIZACIÓN

Para caracterizar el modelo se necesita obtener curvas inversas del primer orden. Ya se comentó anteriormente, que generalmente se emplean magnetómetros de muestra vibrante, pero este es un equipo sofisticado no siempre a disposición. Se propone a continuación un método alternativo. Este método debe ser tal que la excitación sea controlable y con una frecuencia que tienda a cero.

El método propuesto para obtener las curvas inversas de primer orden y el ciclo límite es una variante del ensayo de Rowland (Karcz, 1972) modificado pues con el ensayo original tan solo se obtienen ciclos límite. El esquema es el mostrado en la figura 6. El núcleo del transformador es en realidad el material a ensayar. De hecho, el transformador puede ser sustituido por un equipo Epstein (Karcz, 1972). El instrumento del secundario del transformador es un fluxómetro electrónico. Este es el elemento clave del ensayo, se trata de una variante del galvanómetro balístico, pero a diferencia de este la aguja permanece fija en la medición correspondiente. El fluxómetro mide la variación de flujo detectada por una bobina de exploración (en este caso el secundario del transformador o del equipo Epstein) debida a una variación de la intensidad de campo. Conociendo la superficie transversal abarcada por la bobina de exploración se puede conocer la variación de inducción a partir de la variación de flujo medida por el fluxómetro



Fig. 6: Ensayo para la caracterización y validación del modelo de Preisach

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se ha aplicado el modelo de Preisach al núcleo de un transformador monofásico de 1,3kVA, 220/380V. El arrollamiento del lado de baja tensión del transformador está formado por 409 espiras. Aparte de los arrollamientos del lado de baja y alta tensión se realizó un devanado auxiliar de cuarenta espiras sobre la culata del núcleo, este devanado se emplea como bobina de exploración del fluxó-metro. La sección transversal del núcleo es 0,0022m2 y la longitud media efectiva 0,62 m. Las pérdidas en el hierro a tensión nominal 20W.

Empleando el lado de baja como primario y el devanado auxiliar de 40 espiras como secundario, se realizó el ensayo de Rowland modificado para obtener cuatro curvas in-versas de primer orden. Con estas curvas se caracterizó el modelo de Preisach por el método no paramétrico, determinando la integral de Everett para cada punto del plano de Preisach por la interpolación propuesta. Finalmente se desarrolla el modelo de Preisach por el método de Mayergoyz con la variante propuesta para calcular la curva de primera inducción, el ciclo límite, varias curvas inversas de primer orden y una curva inversa de segundo orden.

Todos los cálculos realizados por el modelo de Preisach se han contrastado con resultados empíricos. De la figura 7 a la figura 11 se muestran varias características de inducción para el núcleo del transformador ensayado.

En todos los casos los resultados previstos por el modelo de Preisach son muy precisos, partiendo de pocas curvas inversas, esto es interesante pues se ha conseguido realizar el modelo con un equipo más sencillo y asequible sin perder precisión. La excepción es la curva inversa de segundo orden en la que se pierde precisión, esto es debido a que para que en el modelo de Preisach el orden de las curvas empleadas en la caracterización marca el orden máximo de las curvas representables.



Fig. 7: Curva de primera magnetización


Fig. 8: Ciclo límite


Fig. 9: Curva inversa de primer orden con punto de inversión positivo


Fig. 10: Curva inversa de primer orden con punto de inversión negativo



Fig. 11: Curva inversa de segundo orden

CONCLUSIONES

El modelo de Preisach clásico es un sistema de fácil realización como método numérico, permitiendo predecir el valor de la inducción para un valor de intensidad de campo instantáneo considerando su historial anterior.

La caracterización no paramétrica (por inte-grales de Everett) con interpolación a tramos por polinomios de Hermite ofrece resultados excelentes con pocas curvas datos experimentales (para nuestro cálculo únicamente se emplearon cuatro).

REFERENCIAS

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