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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.15 n.2 La Serena  2004

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642004000200018 

  Información Tecnológica-Vol. 15 N° 2-2004, págs.: 101-104

ELECTRICIDAD Y ELECTRONICA

Análisis Simbólico en Circuitos Electrónicos Analógicos Manipulando Estructuras de Datos

Symbolic Analysis of Analog Electronic Circuits by Manipulation of Data Structures

 

E. Tlelo, C. Sánchez, F. Sandoval y G. Flores

Inst. Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica-INAOE, Luis Enrique Erro N°1, Apdo. Postal 51 & 216, 72000 Tonantzintla, Puebla-México (e-mail: e.tlelo@ieee.org)


Resumen

Se presenta un método novedoso para mejorar el proceso de formulación del sistema de ecuaciones que describen el comportamiento de un circuito electrónico aplicando análisis simbólico. El comportamiento de los circuitos electrónicos se modela utilizando anuladores (nullors), lo que permite representar sus relaciones de interconexión usando estructuras de datos simples. De esta forma, se demuestra que el sistema de ecuaciones compacto puede calcularse al evaluar el producto cartesiano de las relaciones de interconexión asociadas a los elementos terminal nulo (nullator) y terminal libre (norator). Utilizando esta técnica de formulación se minimiza la complejidad computacional durante la manipulación de expresiones simbólicas. El sistema de ecuaciones compacto se formula llenando directamente una matriz de admitancia cuyo orden, es igual al número de nodos menos el número de nullors. Se concluye que las expresiones simbólicas calculadas, son útiles para procedimientos de síntesis y optimización de un diseño electrónico.


Abstract

A novel method is presented to improve the formulation process of the system of equations describing the behavior of an electronic circuit by applying symbolic analysis. The behavior of an electronic circuit is modeled by using nullors, which is quite useful in representing their interconnection relationships by using simple data structures. In this form, it is demonstrated that the compacted system of equations can be computed by evaluating the Cartesian product of the interconnection associated to the nullator and norator. By using this formulation technique, the computational complexity during the manipulation of symbolic expressions is minimized. The compact system of equations is formulated by direct fill-in of an admittance matrix whose order is equal to the number of nodes minus the number of nullors. It is concluded that the calculated symbolic expressions are useful for synthesis and optimization procedures of an electronic design.

Keywords: electronic design, symbolic analysis, data structures, circuit theory, nullor


INTRODUCCIÓN

El análisis simbólico ayuda al diseñador de circuitos electrónicos, a intuir acerca del comportamiento de un diseño (Fernández, et al., 1998). A pesar de existir un amplio desarrollo de simuladores simbólicos (Cabeza y Carlosena, 2000), aun existe la necesidad de minimizar la complejidad computacional, lo que puede realizarse usando nullors (Schmid, 2000), para modelar el comportamiento de los circuitos a diferentes niveles de abstracción.

En Sánchez et al. (2003) y Tlelo et al. (2003), se ha desarrollado un método de formulación calculando un SEC (Sistema de Ecuaciones Compacto), manipulando las RI de los elementos del circuito, sin embargo, las estruc-turas empleadas se han generado combinando los índices asociados a los nodos, de manera ascendente, almacenando n(n+1)/2 elementos. De esta manera, en este trabajo se generan estructuras de datos simples, almacenando únicamente las localidades no-nulas, i.e. datos que contengan al menos un elemento de circuito, y asociando tres pares de índices renglón columna (R,C), para cada elemento no conectado al nodo de referencia 0, como se muestra a lo largo del desarrollo del artículo.

Es importante mencionar que el hecho de usar nullors, permite calcular un SEC cuyo or-den es igual a m=n-N, sin considerar al nodo de referencia, el cual siempre toma el valor 0.

FORMULACIÓN TRADICIONAL

Para minimizar la complejidad computacional durante la etapa de formulación, deben generarse modelos a diferentes niveles de abstracción (Fernández et al., 2003), a fin de calcular ES simples que representen el comportamiento dominante de un circuito. Sea por ejemplo, el modelo más abstracto de un amplificador operacional de transcon-ductancia (OTA) (Schmid, 2000), como se muestra en la figura 1.


Fig. 1: Representación de un OTA y su modelo equivalente con nullors

Para formular el sistema de ecuaciones usando el método tradicional, considere el filtro pasa-bajas mostrado en la figura 2a. El circuito equivalente con nullors, mostrado en la figura 2b, tiene seis nodos.


(a)
(b)
 
Fig. 2: Filtro pasa-bajas: (a) implementado con OTAs, y (b) su modelo con nullors.

Para calcular la función de transferencia (FT), io(s)/ii(s), se ejecuta el siguiente procedimiento:

  1. Obtener el circuito equivalente de pequeña señal modelado con nullors.
  2. Calcular: i=YAN v, cuyo orden es n.
  3. Calcular las RI de los elementos norator y nullator.
  4. Aplicar las reglas de los elementos norator y nullator dadas en (Sánchez et al., 2003), asociadas a sus RI, para calcular un SEC expresado por: i=YANCv, cuyo orden es m.
  5. Calcular los vectores i,v usando las RI.
  6. Calcular la FT simbólica deseada.
Donde YAN y YANC representan las matrices de admitancia nodal y nodal compactada. Los vectores i y v representan las fuentes inde-pendientes y el vector de variables de nodo (voltajes), respectivamente. Para el circuito de la figura 2b, la formulación de orden n queda expresada por la ecuación (1), como en (Sánchez et al., 2003).

La matriz de la ecuación (1) debe compactarse considerando las RI de los norators y nullators, las cuales se resumen como sigue:

1) Los norators se asocian a la manipulación de renglones, éstos están conectados en los pares de nodos: P1 (2,1), P2 (3,0), P3 (4,6), P5 (5,0). Aplicando las propiedades del norator, los renglones 1..6 quedan compactados a m=n-N=6-4=2 renglones, cuyos índices son: (1,2) y (4,6) para cada renglón. Esto significa que deben sumarse los renglones 1 y 2, así como el 4 y 6, y el resultado deposi-tarse en 1 y 4, respectivamente. Posterior-mente, borrar los renglones 2,3,5,6. 2 y 4 porque han sido sumados, y 3 y 5 por estar conectados al nodo de referencia, 0.

(1)

2) Los nullators se asocian a la manipulación de columnas, éstos están conectados en los pares de nodos: O1 (1,2), O2 (3,0), O3 (4,1), O5 (5,0). Aplicando las propiedades del nullator, las columnas 1..6 quedan compacta-dos a m=n-N=6-4=2 columnas, cuyos índices son: (1,2,4) y (6) para cada columna. Esto significa que deben sumarse las columnas 1, 2 y 4, y el resultado depositarse en 1. Posteriormente borrar las columnas 2,3,4,5. 2 y 4 porque han sido sumados, y 3 y 5 por estar conectados al nodo de referencia, 0.

Aplicando estas RI, y calculando los vectores i y v, usando las RI, se obtiene un SEC de orden 2, como se muestra en la ecuación (2). Aplicando la ley de Ohm, resulta que io=GLv6, por lo que finalmente, la FT simbólica del circuito de la figura 2a, queda expresada por la ecuación (3).

(2)

(3)

Puede resumirse que la mayor parte del tiempo computacional se ha empleado en el proceso de reducción de una matriz de 36 elementos, de los cuales 32 se han eliminado. Adicionalmente, las RI de los nullators y norators, requieren esfuerzo computacional para calcular los índices para manipular los renglones R y las columnas C.

FORMULACIÓN PROPUESTA

Para mejorar la formulación tradicional, este trabajo está dedicado a eliminar el cálculo de la ecuación (1), calculando directamente la ecuación (2), a través de la evaluación del producto cartesiano relacionado con las RI. Los elementos norator se asocian a los índices R, y los nullator se asocian a los índices C.

Si se considera, una vez más, el circuito de la figura 2b. Deben calcularse las estructuras de datos de los elementos admitancia, norator y nullator, como se muestra en las Tablas 1, 2 y 3, respectivamente. Para insertar una Admitancia, para cada par de nodos (i,j), la admitancia se inserta considerando que:

  1. El elemento Y(i,j) es positivo " (i=j)
  2. El elemento Y(i,j) es negativo " (i ¹ j)
Como el circuito se compone de n=6 nodos y N=4 nullors, la matriz compacta será de orden m=2. La formulación del SEC inicia por el cálculo de las RI.

Los norators se asocian a los índices R, cuyos pares de nodos son: [(2,1), (3,0), (4,6), (5,0)]. Aplicando las propiedades del norator, como en la sección anterior, sólo se tienen 2 índices, ya que m=2, y ordenados de manera ascendente, los índices R son: [(1,2), (4,6)].

Tabla 1: Estructura de Datos: Admitancias


Admitancia
RI

SC
1,1
gm1
2,2
gm1
3,3
-gm1
2,3 ó 3,2
gm2
4,4
gm2
5,5
-gm2
4,5 ó 5,4
GL
6,6

Tabla 2: Estructura de datos: Norators


Norator
RI

P1
1,2
P2
0,3
P3
4,6
P4
0,5

Tabla 3: Estructura de datos: Nullators


Nullator
RI

O1
1,2
O2
0,3
O3
1,4
O4
0,5

Los nullators se asocian a los índices C, cu-yos pares de nodos son: [(1,2), (3,0), (4,1), (5,0)]. Aplicando las propiedades del nullator, como en la sección anterior, sólo se tienen 2 índices, ya que m=2, y ordenados de manera ascendente, los índices C son: [(1,2,4), (6)].

Ahora, la matriz compacta del SEC, de orden 2x2, tiene cuatro elementos calculados por el producto cartesiano de las RI, asociados a los índices R y C (Sánchez et al., 2003):

Y11=(1,1)+(1,2)+(1,4)+(2,1)+(2,2)+(2,4)
Y12=(1,6)+(2,6)
Y21=(4,1)+(4,2)+(4,4)+(6,1)+(6,2)+(6,4)
Y22=(4,6)+(6,6)

En la tabla 1 se busca el símbolo asociado a cada par (R,C) que pertenece al elemento de la matriz del SEC, con el siguiente resultado:

Y11=sC+0+0+0+gm1+0
Y12=0+0
Y21=0+0+gm2+0+0+0
Y22=0+GL

Calculando los vectores i y v, se obtiene el SEC expresado por la ecuación (4).

(4)

Puede observarse que las ecuaciones (2) y (4) son iguales, por lo tanto, el método propuesto evaluando el producto cartesiano, ha sido demostrado. Finalmente, como io=GLv6, la FT simbólica queda expresada igualmente por la ecuación (3).

APLICACIÓN AL DISEÑO ELECTRÓNICO

El método propuesto puede extenderse al análisis simbólico de toda clase de circuitos electrónicos cuyo comportamiento pueda ser modelado usando el nullor. Dentro de toda la amplia variedad de dispositivos electrónicos, actualmente los elementos genéricos pueden representarse como se muestra en la figura 3.


 
Fig. 3: Dispositivos activos

El problema para el diseño electrónico óptimo, ahora es la selección del modelo adecuado asociado a cada dispositivo, a diferentes niveles de abstracción, lo cual se considera como un trabajo a futuro, dentro del proyecto del INAOE, para el desarrollo de un simulador simbólico de circuitos electrónicos.

CONCLUSIÓN

Se ha presentado un método novedoso para la formulación del SEC que describe el comportamiento dominante de un circuito electrónico modelado por nullors.

El método propuesto se basa en la manipulación de estructuras de datos para calcular el producto cartesiano, asociado a las RI de los elementos norator y nullator, enfocado al cálculo directo de la matriz del SEC, en lugar de manipular una matriz de admitancia de muchos nodos, como se ha realizado tradicionalmente.

Se ha demostrado que el método propuesto para el calculo de ES simples, minimiza la complejidad computacional a través de la manipulación de estructuras de datos.

 

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo es apoyado por el CONACYT, México, con el proyecto numero J40321-Y.

REFERENCIAS

Fernández, F.V., A. Rodríguez, J.L. Huertas y G. Gielen, Symbolic Analysis Techniques: Applications to Analog Design Automation, Piscataway, NJ, IEEE Press, (1998).         [ Links ]

Cabeza, R., A. Carlosena, On the use of symbolic analyzers in circuit synthesis, Analog Integrated Circuits and Signal processing: 25, 67-75, (2000).         [ Links ]

Sánchez, C., G. Flores, J. Illéscas, G. Hernández, E. Tlelo, Symbolic analysis of analog cir-cuits by manipulating data structures, CAIP, 93-96, (2003).         [ Links ]

Schmid, H., Approximating the universal active element, IEEE TCAS-II: 47 (11), 1160-1169, (2000).         [ Links ]

Tlelo, E., C. Sánchez, F. Sandoval, Symbolic analysis: a formulation approach by manipulating data structures, IEEE ISCAS: 4, 640-643, (2003).

 
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