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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.15 n.2 La Serena  2004

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642004000200015 

  Información Tecnológica-Vol. 15 N° 2-2004, págs.: 83-88

INGENIERIA MECANICA

Validación y Análisis Sobre el Comportamiento Dinámico de un Sistema Rotor-Chumacera con Lubricación Híbrida

Validation and Analysis of Dynamic Operation of a Rotor-Bearing System with Hybrid Lubrication

E. Martínez, V.R. Nossov y J.C. Gómez

 

Inst. Tecnológico de Puebla, Avda. Tecnológico N°420, Colonia Maravillas, Puebla, Pue.-México
(e-mail: eloymartinezl@hotmail.com)


Resumen

Se presenta un modelo matemático, así como la validación y análisis del comportamiento de un sistema rotor-chumacera. Las chumaceras utilizadas fueron del tipo cilíndrico y presurizadas. A través de la teoría de la ecuación de Reynolds y del modelo de rotor Jeffcott se obtuvo un modelo matemático de cuarto orden con sus respectivos coeficientes rotadinámicos. El modelo encontrado se implementó para el control en lazo abierto y lazo cerrado. Los resultados obtenidos demostraron que la velocidad umbral de estabilidad aumenta considerablemente y además que la amplitud de la vibración disminuye en forma no lineal con respecto a la presión de inyección aplicada al lubricante. Con base en los resultados obtenidos se concluye que las chumaceras presurizadas pueden ser altamente confiables para su utilización en el ambiente industrial.


Abstract

A mathematical model of a rotor-bearing system and its validation and analysis of its dynamics, are presented. The bearings used in the study were of the cylindrical, pressurized type. Following the theory of the Reynolds equation and the Jeffcott rotor model, a fourth-order mathematical model was obtained, with its respective rotodynamic coefficients. The model obtained was implemented for control in open and closed loops. The results obtained showed that the threshold velocity of stability increased considerably and also the amplitude of the vibration decreased in non-linear form depending on the injection pressure applied to the lubricant. On the basis of the results obtained it is concluded that pressurized bearings could be highly reliable in industrial applications.

Keywords: pressurized bearing, rotor-bearing system, hybrid lubrication, rotordynamic coefficients


INTRODUCCIÓN

A finales del siglo XIX, la teoría de las vibraciones mecánicas fue ampliamente desarrollada y como consecuencia hubo un gran progreso en el diseño y construcción de maquinaria rotatoria de alta velocidad, en particular se pueden mencionar el desarrollo de locomotoras y turbinas de vapor. En esos años DeLaval experimentó con rotores de turbina que operaban a 30,000 rpm y sus conocimientos teóricos adquiridos aún tienen aplicaciones en esta área de la mecánica. El primer tratado científico sobre las vibraciones mecánicas fue escrito por Lord Rayleigh en 1894, él formalizó las ideas sobre funciones normales e introdujo el concepto de fuerzas y coordenadas generalizadas (Dimarogonas, 1996). Rayleigh también desarrolló el método de la energía en el análisis de vibraciones, és-te es un método que no necesita de la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales.

El cabeceo (whirling) de rotores fue predicho por W.A. Rankine, quien postuló que la operación del rotor por arriba de la velocidad crítica era imposible. Dunkerley y Reynolds realizaron extensas investigaciones analíticas en este campo y finalmente el problema del cabeceo de rotores fue resuelto y explicado analíticamente por A. Foppl quien concluyó que la operación por arriba de la frecuencia crítica es posible, tal y como lo había demostrado De Laval en forma experimental. Este análisis se le acredita, en forma equivocada a Jeffcott y es por eso que el rotor DeLaval también se le conoce en América con el nombre de rotor Jeffcott.

A partir de la última década del siglo XX, bajo el liderazgo de los investigadores Don Bently y Agnes Muszynska, la empresa Bently Rotor Dynamics Research Corporation ha estado investigando el comportamiento dinámico y estático de las chumaceras presurizadas de lubricación completa cuando éstas son utilizadas en maquinaria de alta velocidad (Bently, 2000; Bently y Pechenev 2000).

En México, en el Instituto Politécnico Nacional, parte de los autores de este trabajo, en la actualidad están realizando estudios sobre estabilidad de sistemas rotodinámicos, identificación de coeficientes rotodinámicos, sistemas de control lineal y no lineal, monitoreo y análisis de vibraciones mecánicas (Gómez et al., 2002). Este trabajo es parte de un proyecto de investigación, en el campo de la roto-dinámica, que se está realizando en el IPN y es financiado por el gobierno mexicano con la finalidad de sentar las bases físicas y matemáticas de este tipo de sistemas con lubricación híbrida.

MODELO MATEMÁTICO

El sistema rotor-chumacera que es objeto de estudio en este artículo, se asume que el rotor es rígido y además que está soportado por chumaceras flexibles y presurizadas, por lo que es posible modelarlo como un caso particular del rotor de Jeffcott. Ver la figura 1. Este modelo consta de un disco de masa 2m, ubicado en la parte central del eje-rotor y soportado en cada uno de sus extremos por dos chumaceras presurizadas idénticas. El desbalance estático del disco es representado por la excentricidad a medido a partir de su centro de masa G con respecto al eje geométrico de giro E. Las fuerzas elásticas generadas en el eje son aplicadas en partes iguales (1/2) cada una de las chumaceras.


 
Fig.1: Rotor Jeffcott rígido

Aplicando la segunda ley de Newton en el disco mostrado en la fig.1, se tiene:

 

(1)

donde: M es la masa del disco, K es el coeficiente de rigidez del eje, C es el coeficiente de amortiguamiento viscoso del eje y a es el desbalance. El modelo Jeffcott es una representación muy simplificada de éste sistema, sin embargo, es capaz de predecir, con suficiente exactitud, una res-puesta debida al desbalance y a sus velo-cidades críticas (Rao, 1998). Haciendo las operaciones indicadas en las ecuaciones (1), se llega a:

 


(2)

donde: Maw 2 es la fuerza centrífuga debida al desbalance de masa. Si el rotor es rígido, entonces:
 
 

 

 

De este modo, el equilibrio de fuerzas en el disco queda como:
 

 

(3)

De acuerdo a la fig.1, el movimiento del eje-rotor desde el punto O al punto O’ esta influenciado mayormente por la masa (M) del disco, los parámetros de rigidez (KB) y los parámetros amortiguamiento (CB) de la chumacera. El lubricante en la chumacera ejerce fuerzas sobre el eje-rotor que están dadas por (Szeri, 1998):

 

(4)

Si se aplica la segunda ley de Newton a la altura de las chumaceras se tiene que:

(4)

(5)

Los coeficientes de rigidez y amortiguamiento que proporciona la chumacera son: Kxx, Kxy, Kyy, Kyx, Cxx , Cxy, Cyy, Cyx, y se pueden obtener a partir de gráficas disponibles en la literatura (García et al., 2002); en éstos coeficientes el primer subíndice i de los indica la dirección de la fuerza producida y el segúndo subíndice j indica la dirección del movimiento que produce tal fuerza (p. ej., kxy es una fuerza en la dirección x producida por un desplazamiento en la dirección y).

Estos coeficientes están expresados en función del llamado número adímensional de Sommerfeld, definido como (Childs, 1993):

(6)

donde m es el coeficiente de viscosidad del fluido, R es el radio de la chumacera (R = D/2), Cr es el claro radial (diferencial entre el radio de la chumacera y el radio del muñón), L es la longitud axial de la chumacera, W es la carga radial soportada en la chumacera y N es la velocidad angular (rev/s) a la que gira el rotor.

Una chumacera presurizada presenta un lugar de puntos de operación estáticos (Khonsari, 2001), en estos puntos de operación las fuerzas del fluido están en equilibrio compensando la carga, por lo tanto, en una posición de equilibrio estático (x = exo, y = eyo), la chumacera sólo proporciona rigidez, es decir, la suma de fuerzas en cada eje está dada por:

 
  (7)
 

Restando (7) de (5) se tiene:

 
   
(8)

Considerando las siguientes expresiones con el fin de adimensionalizar las expresiones anteriores:
 
 

 
 
 
 
 
(9)

y sustituyendo en el sistema de ecuaciones (5) se obtiene el modelo adimensional de 2 grados de libertad siguiente:

 
   
 
  (10)

Este modelo dinámico de cuarto orden es lineal y perturbado por el desbalance rotatorio, que incluye los términos 0(para i ¹ j) que acoplan ambas coordenadas X, Y del sistema (Blanco, 2002). Es importante mencionar que los parámetros de rigidez y amortiguamiento dependen en forma no lineal de las presiones de inyección de fluido a la chumacera. Para presiones constantes estos parámetros son constantes y el modelo (10) será lineal. Los valores de los coeficientes de rigidez (K) y amortiguamiento (C), dependen en forma no lineal de la velocidad del rotor, de la carga y de la presión de inyección de lubricante en la chumacera (Vance, 1988).

Eligiendo las siguientes variables de estado: como el desplazamiento del rotor en la coordenada x; como la velocidad de rotor en la coordenada x; como el desplazamiento del rotor en la coordenada y;

como la velocidad del rotor en la coordenada y, entonces el sistema de ecuaciones (10) se puede escribir, en espacio de estados, de la siguiente forma:

 
 
 
 
  (11)

Para una chumacera presurizada es posible expresar los coeficientes como (Blanco,et al., 2002):

 
(12)

Donde:  son los coeficientes a la presión de inyección típica (@ 1 Bar), son los coeficientes a una presión diferente de la típica, u es la señal de control. Si se sustituyen las ecuaciones (12) en las ecuaciones (11) se llega a la siguiente ecuación vectorial:

(13)

donde los términos de la derecha de la ec. 13 quedan expresados como:

 
   
 
   
 

El sistema (13) es no lineal por lo que no es posible aplicar las técnicas clásicas de control a este modelo. Sin embargo, es posible linealizar este sistema bajo condiciones de carga, velocidad y presión de inyección constantes. Utilizando series de Taylor y un punto de operación dado, , el sistema se linealiza de la siguiente forma (Gómez, et al., 2003):

donde:

(14)

 

 

 

por lo que:

 

 

Tabla 1: Datos del sistema rotor-chumacera.


Parámetro
Valor

Viscosidad (m 0.015 N.s/m2
Longitud de la chumacera(L)  0.0254 m 
Diámetro de la chumacera(D)  0.0254 m 
Masa del disco (M)  1.7 Kg 
Peso del disco (W)  16.73 N 
Desbalance (a)  30X10-6
Presión promedio (P=W/LD)  25931.55 N/m2
Velocidad del rotor (N)  8000 rpm 
Frecuencia angular (w 837.75 rad/s 

Tabla 2. Coeficientes rotodinámicos


Coeficiente
1P
6P
10P

Cxx
40 
57 
65 
Cxy
1.2 
7.5 
Cyx
1.8 
7.5 
Cyy
40 
52 
58 
Kxx
1.9 
10.9 
Kxy
-25 
-30 
-45 
Kyx
25 
30 
35 
Kyy
5.5 
8.5 

donde:

 

En forma linealizada en el punto de operación y para pequeñas amplitudes de vibración, el sistema (13) se puede escribir de la forma:

(15)

Con la ayuda del programa de software CHUMA, que es una resolución por métodos numéricos de la ecuación de Reynolds (Gómez et al., 2002) que fue desarrollado en el Instituto Politécnico Nacional y con los parámetros dados en la tabla 1, se obtuvieron los coeficientes adimensionales mostrados en la tabla 2. Sustituyendo los valores de la columna 10P y los datos del sistema rotor-chumacera en la ecuación (15) se tiene que:

 
   
(16)

La respuesta de este sistema, en lazo abierto, puede verse en la figura 4.

 

 
Fig. 4: Respuesta en lazo abierto del sistema rotor-chumacera

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

Las ecuaciones de movimiento (ecs. 10) definen al sistema rotor-chumacera bajo estudio. El polinomio característico de este sistema de dos ecuaciones de segundo orden esta dado por un polinomio de cuarto orden de la forma:

(17)

donde:

 
 
 
 
 

Construyendo la matriz de Hurtwitz se obtiene que para que el sistema sea estable se requiere que se cumplan las siguientes condiciones:

;
  (18)

donde:

los coeficientes de los determinantes (18) corresponden a un polinomio de cuarto orden de la forma:

 
(19)

La velocidad umbral de estabilidad se dedujo por medio del criterio de Lienard-Chipard para una configuración de eje rígido, la cual está esta dada por:

 
  (20)

Esta expresión calcula en forma directa y sencilla la velocidad del umbral de estabilidad para una configuración del modelo de Jeffcott soportado en chumaceras presurizadas. La figura 2 muestra las curvas de estabilidad para diferentes presiones de inyección de lubricante.


 

 
Fig. 2: Velocidad umbral de estabilidad vibratoria para un eje rígido

 

LA INSTRUMENTACIÓN

Con el fin de analizar el comportamiento dinámico del modelo jeffcott rígido en lazo cerrado se propone el sistema de control mostrado en la figura 3. Este sistema de control está compuesto por un regulador PID de tipo lineal (Astrom, 1995), sensores de desplazamiento a la altura de las chumaceras y en el disco; una bomba de alta presión y un sistema rotor333-chumacera.


La respuesta de este sistema de control, en lazo cerrado, puede verse en la figura 5. Los sensores de desplazamiento miden la distancia relativa entre el eje rotor y la superficie interna de la chumacera, éstos deben ser del tipo de no contacto, con el fin de poder instalarlos fácilmente en la chumacera. Se utiliza una tarjeta controladora marca Dspace que permite la programación de diferentes algoritmos de control, a través de software, y que se conecta en las ranuras de una PC. La adquisición de datos se realizó con el equipo de Diagnóstico Automatizado para Maquinaria Rotatoria (ADRE) y la Unidad de Adquisición de Datos (DAIU 208) los cuales tienen la capacidad de presentar las señales de respuesta, ya sea en el dominio del tiempo ó en el dominio de la frecuencia. Con este equipo es posible presentar diversas graficas que son útiles en diagnostico de vibraciones, tales como: graficas de amplitud contra tiempo, Polar, Cascada, de Espectros, Bode, Orbitas, etc. (ver figura 6), El sistema que se instrumentó fue el ROTOR KIT de la marca Bently, configurado de acuerdo al modelo de rotor Jeffcott (ver la figura 7).


 
Fig. 5: Respuesta en lazo cerrado del sistema rotor-chumacera


 

 
Fig. 6: Espectros de frecuencias

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

De acuerdo a los resultados obtenidos en cuanto a la velocidad umbral de estabilidad, la figura 2 muestra en forma clara como a medida que se incrementa la presión de inyección en el lubricante la velocidad umbral se incrementa notoriamente. Para el caso particular, de 10P, que es el caso que se reporte en éste artículo, la velocidad umbral prácticamente se incremento en un 100%. En relación a la amplitud de vibración, los resultados mostrados en las figuras 4 y 5 se puede ver que para 10P, la amplitud de vibración se redujo hasta 10 veces.

Los resultados obtenidos demuestran que un sistema rotor-chumacera con lubricación híbrida es altamente estable y confiable lo cual contradice la teoría de W.A Rankine publicada a principios del siglo XX.

CONCLUSIONES

De los resultados obtenidos y reportados se puede concluir lo siguiente:

  1. La inyección de lubricante a presión al interior de la chumacera, incrementa la velocidad umbral de estabilidad.
  2. La amplitud de la vibración se reduce significativamente al presurizar las chumaceras.
  3. En trabajos futuros se deben considerar modelos matemáticos en donde se consideren los retardos de tiempo en el sistema de suministro de lubricante.

 

REFERENCIAS

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