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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.15 n.2 La Serena  2004

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642004000200012 

 

Información Tecnológica-Vol. 15 N° 2-2004, págs.: 69-74

MEDIOAMBIENTE

Observador Asintótico Ajustable para Reactores Bioquímicos: Aplicación a la Digestión Anaerobia

A Tunable Asymptotic Observer for Biochemical Reactors. Application to Anaerobic Digestion

 

V. Alcaraz, R. Salazar, V. González y J.L. Gouzé

Univ. de Guadalajara, Dpto. de Ingeniería Química, Blvd. Marcelino García Barragán N°1451, 44430 Guadalajara, Jalisco-México (e-mail: victor@ccip.udg.mx)


Resumen

En este trabajo se propone un observador asintótico ajustable para sistemas dinámicos no lineales que pueden ser descritos por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. A diferencia de los observadores asintóticos clásicos, este observador está provisto de ganancias variables que pueden ser ajustadas por el usuario. En la etapa inicial de la estimación, este observador es robusto frente a perturbaciones inducidas por un conocimiento parcial de los términos no lineales. Eventualmente, este observador es totalmente independiente de los términos no lineales, lo que le confiere una robustez total frente a cualquier perturbación inducida por estos términos. El observador es probado mediante simulaciones rigurosas y es aplicado a un modelo dinámico de digestión anaerobia para el tratamiento de aguas residuales, mostrando propiedades excelentes de convergencia, estabilidad y desempeño. La respuesta del observador propuesto es más rápida que la obtenida con los observadores asintóticos clásicos.


Abstract

In this paper a tunable asymptotic observer for non-linear dynamic systems that can be described by a set of ordinary differential equations, is proposed. In contrast with classical asymptotic observers, this one is provided with variable gains that can be tuned by the user. At the first stage of the estimation, the observer is robust against disturbances induced by poorly known non-linear terms. Eventually, the observer becomes fully independent of the nonlinear terms and thus robust against any disturbance induced by the nonlinear terms. The performance of the observer is tested through rigorous simulations in a dynamic anaerobic digestion model for wastewater treatment, showing excellent convergence and stability properties. Finally, it is shown that the proposed observer yields faster estimates than those obtained by using the classical asymptotic observers.

Keywords: asymptotic tunable observer, nonlinear systems, biochemical reactors, simulation


Introducción

A principios de la década pasada apareció un útil y poderoso observador para sistemas no lineales relativamente simples llamado observador asintótico (Bastin y Dochain, 1990). Posteriormente, este observador fue extendido para sistemas más complejos (Chen, 1992) y para el caso en que la matriz de estado del sistema es variante en el tiempo (Alcaraz et al., 2003). El observador asintótico tiene la principal ventaja de ser independiente de los términos no-lineales del sistema. Sin embargo, a pesar de los grandes beneficios que este observador aportó a solucionar el problema de observación en sistemas no-lineales donde las cinéticas de reacción son a menudo inciertas, éste presenta la desventaja de no garantizar que la velocidad de convergencia pueda ser ajustada y por lo tanto, generalmente queda fija por las condiciones de operación de la planta. En los casos en que la incertidumbre sobre los términos no lineales sea relativamente pequeña, algunos observadores con ganancias ajustables que utilizan esta información, como el observador de Luenberger, pueden llegar a tener un mejor desempeño que el observador asintótico.

Tratando de superar este inconveniente, recientemente se presentó un desarrollo que hace posible dotar al observador asintótico clásico de Bastin y Dochain, (1990), de una ganancia ajustable, al convertirlo en un observador de error acotado (Gouzé y Lemesle, 2001). En dicho trabajo solo se presentó el caso unidimensional, es decir, una sola variable estimada a partir de una sola variable medida. Así, el objetivo de este trabajo es hacer la extensión de este observador a sistemas dinámicos complejos n-dimensionales no lineales y aplicarlo a un sistema biológico de digestión anaerobia para tratamiento de efluentes, característico de incertidumbres en las cinéticas de reacción.

El observador asintótico ajustable propuesto tiene las siguientes características: a) las ganancias del observador son ajustables. La idea en este caso, es dotar al observador de altas ganancias (inpiduales para cada variable estimada) al principio de la estimación. Estas ganancias emigran en función del tiempo hacia las ganancias que caracterizan a un observador asintótico clásico; b) sólo se requiere de un conocimiento aproximado de los términos no lineales de la planta. De hecho, este conocimiento sólo es usado al principio de la estimación para provocar una rápida convergencia y eventualmente, el observador puede prescindir de estos términos.

Materiales y métodos

Modelo dinámico considerado

Se consideran sistemas dinámicos que se ajustan al siguiente espacio de estado:

(1)

donde el vector de estado x(t)Î Rn se ha pidido en x1(t)Î Rn1 que agrupa las variables de estado a estimar y x2(t)Î Rn2 que agrupa las variables de estado que pueden ser medidas. El mapeo de las no-linealidades del sistema se representa por el vector f(x(t),t):Rn×R+¾®Rr, mientras que, AijÎ Rni×nj, i,j=1,2; son las correspondientes particiones de la matriz de estado. bi(t)Î Rni, i,j=1,2; son las particiones correspondientes de los términos que agrupan las entradas al sistema y CiÎ Rni×r, i,j=1,2; son las particiones correspondientes de la matriz constante que afecta el mapeo f(x(t),t). Se considera además que la espacio de estado (1) tiene las siguientes propiedades,

Hipótesis 1:

  1. La matriz de estado A(t) es conocida y acotada " t³0, i.e., existen dos matrices constantes Amin y Amax, tales que:
    Amin £A(t) £Amax " t³0.
  2. La matriz C es constante y conocida, además tiene la propiedad:
  3. rango C= rango C2.
  4. El mapeo b(t) es conocido " t³0.

Nota: Los símbolos de desigualdad entre vectores y matrices debe entenderse como desigualdades entre componentes.

Observador asintótico clásico

El observador asintótico clásico en su forma multivariable para sistemas variantes en el tiempo tiene la forma:

(2)

con

(3)

donde N1Î Rnn1 es una matriz invertible arbitraria pero constante (por simplicidad, se puede elegir N1=I ), N2= –N1C1C2§, donde el operador (§) indica pseudo-inversa generalizada, con la propiedad C2C2§C2=C2. De lo anterior se deduce que N1C1+N2C2=0.

Notar que, efectivamente, el observador asintótico clásico (2)-(3) es totalmente independiente de las no-linealidades, lo que le confiere una gran robustez frente a estos términos. Basándose en las hipótesis 1 y en una propiedad de sistemas dinámicos llamada cooperatividad (Smith, 1995; Alcaraz et al. 2003) propusieron y discutieron ampliamente condiciones suficientes para garantizar la convergencia y la estabilidad de este observador. En lo sucesivo, se dará por sentado que tales condiciones se cumplen.

Observador asintótico ajustable

Tomando como base la estructura del observador asintótico clásico (2)-(3) y bajo la consideración de que este es cooperativo y estable, la principal contribución de este artículo consiste en dotar a tal observador de una matriz de ganancias que permitan al usuario ajustar la velocidad de convergencia de la dinámica del error. El observador propuesto tiene la forma siguiente:

(4)

con

(5)

donde el vector , representa la mejor aproximación al vector de no-linealidades del sistema. La matriz de ganancia Q(t) es diagonal, y tiene la propiedad:

limt¾®¥Q(t)=I. (6)

que permite al observador ajustable (4)-(5), converger exactamente hacia el observador asintótico clásico (2)-(3) a medida que y por lo tanto .

APLICACIÓN: DIGESTOR ANAEROBIO

La aplicación práctica de los observadores (2)-(3) y (4)-(5) se realiza utilizando un modelo dinámico de un proceso de tratamiento de aguas residuales por digestión anaerobia. A este modelo se le conoce como AM1 (Bernard et al., 1998, Bernard et al., 2001), que se ajusta al espacio de estado descrito por (1) y tiene la siguiente dinámica:

(7)

con

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

donde X1 y X2 son las concentraciones de biomasa acidogénica y metanogénicas respectivamente, S1 y S2, son las concentraciones de materia orgánica (expresada como de-manda química de oxígeno DQO) y la con-centración de ácidos graso volátiles (AGV) respectivamente, V es la concentración total de iones fuertes en el medio y CTI es la concentración de carbono inorgánico total.

Los parámetros m max,1, mmax,2, ks,1, ks,2 y kI,2 son constantes cinéticas. Los parámetros k1 a k6 son los coeficientes de rendimiento KH es la constante de Henry, kLa es el coeficiente de transferencia de masa líquido-gas, mientras que P es la presión total. El parámetro a refleja la fracción de biomasa que es efectivamente arrastrada por el efecto de la dilución. Los valores de estos parámetros son listados en la Tabla 1.

Tabla 1: Parámetros usados en el modelo (Bernard et al., 1998)


Parámetro 
Valor y unidades 

m max,1
1.25 d–1
m max,2
0.69 d–1
ks,1
4.95 Kg DQO/m3
ks,2
9.28 mol VFA/m3
kI,2
20 (mol VFA/m3)1/2
0.5 adimensional 
k1
6.6 Kg DQO/Kg x1
k2
7.8 mol VFA/Kg x1
k3
611.2 mol VFA/Kg x2
k4
7.8 mol CO2/Kg x1
k5
977.6 mol CO2/Kg x2
k6
1139.2 mol CH4/Kg x2
kLa
50 d–1
KH
0.1579 mol/m3-KPa
P
105.72 KPa

En las simulaciones mostradas a continuación se usaron concentraciones de entrada y tasas de dilución variantes en el tiempo (ver figuras 1-5). Tales condiciones de operación son típicas de procesos biológicos de tratamiento de efluentes. Como en muchos bioreactores continuos, las concentraciones de biomasas a la entrada del proceso se consideraron despreciables.


 
Fig 1: Tasa de dilución.


 
Fig. 2: Concentración de la DQO a la entrada del digestor.


 
Fig. 3: Concentración de AGV a la entrada del digestor.


 
Fig.4: Concentración de iones fuertes a la entrada del digestor.


 
Fig. 5: Concentración de CTI a la entrada del digestor. 

En este caso en particular, el objetivo es estimar las concentraciones de X1, X2, V y CTI a partir de las mediciones de la tasa de dilución, (Fig. 1), la presión parcial de CO2 (Fig. 8), las concentraciones de entrada al digestor (figuras 2-5) y la concentración de los substratos S1 y S2 (Figuras 6-7).


 
Fig. 6: Concentración de la DQO a la salida del digestor.


 
Fig. 7: Concentración de AGV a la salida del digestor.


 
Fig. 8: Presión parcial de CO2 en el digestor.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En las Figuras 9-12, se muestran los resultados en simulación de los estimados obtenidos con el observador asintótico ajustable, propuesto en este trabajo y se comparan con el observador asintótico clásico usando los mismos conjuntos de condiciones iniciales. En el observador asintótico ajustable se utilizaron ganancias del tipo exponencial de la forma siendo el vector q (t) y g, las respectivas diagonales de Q (t) y G. Cabe mencionar que las ganancias utilizadas pueden ser escogidas libremente por el usuario. En este ejemplo, tales ganancias se obtuvieron mediante un proceso de prueba y error. De hecho, se utilizaron varios conjuntos de ganancias con resultados similares.


 
Fig. 9: Estimación de la concentración de biomasa acidogénica: (__) modelo, (...) observador asintótico clásico, (---) observador asintótico ajustable.


 
Fig. 10: Estimación de la concentración de biomasa metanogénica: (__) modelo, (...) observador asintótico clásico, (---) observador asintótico ajustable.


 
Fig. 11: Estimación de la concentración de iones fuertes: (__) modelo, (--) observador asintótico clásico y observador asintótico ajustable.


 
Fig. 12: Estimación de la concentración de carbono total inorgánico: (__) modelo, (...) observador asintótico clásico, (---) observador asintótico ajustable. 

Se puede observar como para X1, X2 y CTI, el observador ajustable converge mucho más rápido que el observador clásico, mientras que esto no sucede en la estimación de V.

Estos resultados eran esperados. Por una parte, las dinámicas de las tres primeras variables contienen términos no-lineales y por lo tanto la tasa de convergencia del error de estimación es influenciada por la matriz de ganancias Q(t). Por otro lado, la dinámica de V es la única variable que no contiene términos no lineales y por lo tanto, su estimación no es afectada por la matriz de ganancias Q(t). De hecho, este comportamiento se ha atribuido a los tiempos considerables de asentamiento en sistemas dinámicos (Álvarez, 2002). En la presente aplicación, el tiempo de asentamiento es una función directa del inverso de la tasa de dilución que es razonablemente alto.

Así, a manera de perspectiva, se abre un nuevo campo de estudio, complementario, sobre el procedimiento de cálculo de ganancias iniciales que eviten sobretiros no deseados. Las funciones que se usan para determinar la forma en que estas ganancias varían en función del tiempo, también quedan como un tema abierto.

No obstante, es importante mencionar la gran repercusión que este tipo de observadores puede tener en sistemas biológicos para tratamiento de aguas donde los términos no-lineales son altamente inciertos y donde se dispone de un mínimo de mediciones. Lo anterior es cierto gracias a que el observador ajustable no solo conserva la robustez del observador asintótico clásico, sino que además permite obtener tasas de convergencia tan rápidas como se deseen, siempre que se respeten las condiciones de acotamiento y de estabilidad de la matriz de estado del observador. Esto proporciona, desde luego una gran flexibilidad en el uso de este tipo de observadores.

Conclusiones

Se ha propuesto un observador asintótico ajustable para el caso multivariable que, a diferencia del observador asintótico clásico, tiene una matriz de ganancias Q(t) cuyos valores iniciales pueden ser modificados por el usuario para lograr altas velocidades de convergencia al inicio de la estimación. El observador fue probado en un estudio de simulación por computadora sobre un proceso de digestión anaerobia para el tratamiento de aguas residuales, resultando en tasas de convergencia más altas que las obtenidas con el uso de un observador asintótico clásico. El estudio del tipo de funciones utilizadas como ganancias se ha propuesto como trabajo a futuro con el fin de optimizar el desempeño del observador. Una extensión lógica del observador aquí propuesto, actualmente bajo estudio, es llevarlo al caso robusto frente a incertidumbres en las concentraciones de entrada.

 

Agradecimientos

Se agradece al proyecto PROMEP, al CONACYT, a la Universidad de Guadalajara y al Proyecto TELEMAC, IST-2000-28156, por el apoyo financiero otorgado.

Referencias

Alcaraz-González V., J. Harmand, D. Dochain, A. Rapaport y J. P. Steyer, A Robust Asymptotic Observer for Chemical and Biochemical Reactors, Proc. 4th IFAC Symp. Rob. Contr. Des. ROCOND2003. Milano, Italia, 6 páginas en CD-ROM (2003).         [ Links ]

Álvarez J., Nonlinear state estimation with robust convergence, J. of Process Control, 12, 50-71 (2002).         [ Links ]

Bastin G. y D. Dochain, On-line Estimation and Adaptive Control for bioreactors, Elsevier Science (1990).         [ Links ]

Bernard O. y otros 7 autores, Software sensors design for an anaerobic wastewater treatment plant, IFAC-EurAgEng. Intern. Workshop on "Decision and Control in Waste Bio-Processing", Waste-Decision, 8 páginas (CD-ROM); Narbonne, Francia (1998).         [ Links ]

Bernard O., Z. Hadj-Sadok, D. Dochain, A. Genovesi y J. P. Steyer, Dynamical model development and paramenter identification of an anaerobic wastewater treatment process, Biotech. Bioeng. 75, 424-438 (2001).         [ Links ]

Chen L., Modelling, Identifiability and Control of Complex Biotechnological Systems, PhD Thesis, Universidad Catolica de Lovenia, Lovenia, Bélgica (1992).         [ Links ]

Gouzé J.L. y V. Lemesle, A bounded error observer with adjustable rate for a class of bioreactor models, Proc. Eur. Contr. Conf. ECC01, Porto, Portugal (2001).         [ Links ]

Smith H.L., Monotone Dynamical Systems. An Introduction to Theory of Competitive and Coopearative Systems, Mathematical Surveys and Monographs, 41, American Mathematical Society (1995).

 
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