SciELO - Scientific Electronic Library Online

 
vol.17 número6Análisis de la Pérdida de Precisión en Codificadores Opticos Lineales por Deformación de la Retícula GrabadaModelo Simplificado para Evaluar la Torsión de un Autobús Urbano índice de autoresíndice de materiabúsqueda de artículos
Home Pagelista alfabética de revistas  

Servicios Personalizados

Articulo

Indicadores

  • No hay articulos citadosCitado por SciELO

Links relacionados

  • No hay articulos similaresSimilares en SciELO

Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.17 n.6 La Serena  2006

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642006000600004 

 

Información Tecnológica-Vol. 17 N°6-2006, pág.: 13-20

INGENIERIA MECANICA

Desarrollo de Acotación Funcional de Bridas con Barrenos de Sujeción

Development of Stack-up Tolerances for Bolted Flange Pairs

Eduardo Aguilera (1), Piotr Rusek (2) y Rafael A. Rodríguez (1)
(1) Universidad de Guanajuato. Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica,
Tampico 912, 36730 Salamanca, Gto.-México (e-mail: eag@salamanca.ugto.mx; rafa@salamanca.ugto.mx)
(2) Universidad de Ciencia y Tecnología, Facultad de Ingeniería Mecánica y Robótica,
Al. Mickiewicza 30, 30-059 Krakow-Polonia (e-mail: piotr.rusek@gmail.com)


Resumen

En este trabajo se presenta un método para establecer las tolerancias adecuadas para la fabricación y ensamble de dos bridas unidas por tornillos. Se llevó a cabo una solución cuidadosa de tolerancias dimensionales lineales y angulares para la ubicación de los agujeros considerando errores en su manufactura, así como variaciones en el diámetro de los tornillos usados en el ensamble. El trabajo se basa en análisis de tolerancias multidimensionales, cálculos de acotación funcional e intercambiabilidad total. También se toma en cuenta la forma específica del conjunto, para el cual se aplica un método estadístico que se verifica con el método de Monte Carlo. El procedimiento presentado en este artículo representa una posibilidad relativamente fácil de obtener buenos ensambles para conjuntos de bridas en casos reales de diseño y del taller de fabricación.

Palabras clave: acotación funcional, bridas, barrenos de sujeción, tolerancias, uniones


Abstract

This study presents a method for establishing adequate tolerances for the manufacture and assembly of flange pairs joined by bolts. A precise solution was made, considering the linear and angular dimensional tolerances required for the location of the flange assembly holes, considering errors in fabrication as well as variations in the diameters of the bolts used for assembly. The study is based on the analysis of multidimensional tolerances, calculations of stack-up tolerance and total interchangeability. Also taken into account was the specific form of the assembly, for which a statistical method was applied which was verified by the Monte Carlo method. The procedure presented in this article represents a relatively simple method for obtaining good flange assemblies based on actual design cases and their fabrication shops.

Keywords: stack-up tolerance, flanges, flange bolts, tolerances, unions


INTRODUCCION

En el diseño y producción de maquinaria, es común que sea necesario unir dos piezas por medio de elementos de sujeción; este es el caso de cajas de transmisión, coples, embragues, motores eléctricos, reductores, tubería, etc.

Es necesario en esos casos diseñar bridas que aseguren la introducción de los tornillos de sujeción en los agujeros de las bridas, la intercambiabilidad total de las partes y mantener el costo de producción en un nivel adecuado distribuyendo las tolerancias de fabricación.

Una solución a este problema en el caso de la producción unitaria, es maquinar los barrenos con las dos bridas unidas, garantizando así la inserción de los tornillos en todas las ocasiones, siempre y cuando no se giren las bridas una respecto a la otra, pero esta solución elimina la posibilidad de intercambiar bridas o usar refacciones.

Drake, (1999) y Henzold, (1995) hacen referencia a la necesidad de un análisis de tolerancias multidimensional, ya que en este caso se tienen elementos en dos dimensiones, pero se incluyen tolerancias angulares. (Brusola, 1986; Jiménez, 1985),  incluyen las reglas básicas para el cálculo de tolerancias en sistemas de varios elementos. (Poli, 2001) señala que es necesario considerar tolerancias lo mas abiertas posible para mantener los costos de fabricación bajos. La localización ha sido un problema constante en el desarrollo de ingeniería mecánica, (Shan et al., 1999) utilizan el Método de Montecarlo en la solución de dos barrenos y de dos pasadores para posicionar dos placas entre sí. Algunos otros artículos hacen referencia a los problemas debidos a los errores de forma, (Cho  Tu, 2002) lleva a cabo análisis estadísticos para el caso de barreno y espiga. En su artículo, (Ngoi et al., 1999) estudian como se suman las tolerancias en los casos reales y proponen un procedimiento para facilitar los cálculos, sin embargo, el cálculo estadístico ha dado un avance significativo en la precisión de los cálculos. Algunos autores (Donnarumma y Giorleo, 2002; Kang et al., 2003, Drake, 1999;  Henzold, 1995), han propuesto diferentes técnicas para la definición de las tolerancias de manera optimizada.

En este trabajo, se toma en cuenta la forma específica del conjunto, para el cual se aplica un método estadístico que se verifica con el método de Monte Carlo.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El caso general del problema es en dos elementos que se  juntan a través de tornillos, y los barrenos están distribuidos de manera aleatoria. El caso se muestra en la Fig.1 donde la distribución de barrenos forma una “nube” de puntos (cruces) cada uno de los cuales representa un conjunto: 2 barrenos y un tornillo de sujeción (si es necesario con sus tuercas y rondanas).

Esta situación general aparece cuando se sujeta un cuerpo a otro, Por ejemplo, la sujeción entre elementos de la carcasa de una transmisión automotriz. Es difícil posicionar un sólido complejo respecto a otro, por eso, para facilitar la ubicación de los barrenos de sujeción y garantizar que se vuelvan a usar adecuadamente después del servicio o mantenimiento, se introducen dos puntos de referencia (posicionamiento) que forman una línea de referencia (comparar con la Fig. 2 en la que se muestran los dos agujeros y el tornillo de un punto de sujeción) respecto esta línea se distribuyen los puntos de sujeción. Las fórmulas generales fueron obtenidas para este caso.

Fig.1 Distribución aleatoria de barrenos

Un caso específico que se analiza en este artículo, es cuando los barrenos están distribuidos de una manera determinada – circular – alrededor de un escalón que posiciona las bridas una respecto de la otra (ejemplo que se muestra en la Fig.4 del artículo). En todas las ocasiones, es necesario asegurar una sujeción confiable y repetible de un conjunto con los tornillos más grandes dentro de un orificio definido por las condiciones de resistencia (o de rigidez).

Fig. 2a Ubicación de dos agujeros (D1 y D2) y un tornillo (DT), (caso general).

Con el afán de resolver bien esta tarea no es posible por razones de competitividad encarecer la fabricación del conjunto de bridas y tornillos aplicando a sus dimensiones tolerancias exageradamente angostas.

Fig. 2b (detalle de la Fig. 2a)

DESARROLLO ANALÍTICO

En esta sección se presenta el desarrollo de las fórmulas necesarias para un diseñador que tiene la tarea de diseñar un conjunto de bridas sujetas con tornillos y asignar las tolerancias en los planos de fabricación. El análisis se realiza con el uso de las herramientas de acotación funcional, en particular con las herramientas propias de teoría de intercambiabilidad dimensional. No se toman en cuenta los casos triviales en la distribución de barrenos (Fig. 3) cuando los barrenos no se intersecan (no tienen ningún punto en común) o cuando solamente tienen un punto común (caso tangente).

Fig. 3 Casos triviales, en los tres primeros ejemplos siempre se logra el ensamble, en los dos últimos  nunca se logra.

El caso que se analiza en el artículo se presenta en las figuras 2a y 2b en donde siempre existen dos puntos de intersección entre los dos barrenos de referencia.

La ecuación vectorial que define la peor ubicación posible de un conjunto, es aquella en la que se obtiene la dimensión máxima posible del tornillo de sujeción, esta situación se describe precisamente cuando los barrenos tienen dos puntos de intersección.

(1)

en la que:

R1 ,R2 

representan radios de posición de los centros de barrenos respecto al sistema de referencia.

D1 ,D2 

representan diámetros de barrenos en las bridas.

DT

representa el diámetro del tornillo de sujeción.

La proyección de la cadena vectorial de dimensiones sobre la línea de referencia “X” en el caso general, permite definir el valor escalar del diámetro de tornillo DT.

(2)

(3)

donde:

 

representan los ángulos formados por vectores de radios R1, R2  y de diámetros D1, D2 con la línea de referencia “X”

representa la tolerancia del ángulo α.

En el caso específico en el que la ubicación de barrenos y de bridas está determinada por un escalón de posicionamiento (ver la Fig. 4 del ejemplo) y la línea de referencia (en el caso general “X”) está formada por el radio R1, significa que el ángulo = 0 y la fórmula para DT  se simplifica y finalmente:

(4)

En la ecuación (4):

representa el valor promedio de los diámetros 1 y 2.

Es importante observar de las relaciones trigonométricas que provienen de la Fig. 1 que:

(5)

Sustituyendo (5) en (4), se obtiene una ecuación útil para cálculos prácticos en el caso específico de bridas con escalón de posicionamiento.

(6)

De acuerdo a la ecuación (6), la dimensión máxima posible DTmax del tornillo que puede ser aplicada en este caso específico según las reglas de acotación funcional del conjunto serán:

(7)

Ya que los barrenos están fabricados con la misma broca, sus diámetros mínimos son iguales; D1min =  D2min =  Dmin , existe también una relación entre los radios  R2  y  R1R2max = R2 ,  R1min =  R1  y  R2  =  R1 +  TR   donde TR  es la tolerancia del radio sobre el cual se encuentran distribuidos los barrenos en las bridas. Entonces la ecuación (7) puede ser rescrita en otra manera.

Se analizan ahora dos casos típicos específicos:

1) Maquinado de la pieza usando una mesa giratoria de alta precisión, esto significa que TR  ≈  0

(8)

Se analizan ahora dos casos típicos específicos:

1) Maquinado de la pieza usando una mesa giratoria de alta precisión, esto significa que

(9a)

2) Maquinado de la pieza con un mecanismo de división de alta precisión  , entonces el valor de expresión entre paréntesis (1-  cos) es igual a cero y la ecuación (8) para DT se simplifica a:

(9b)

Al conocer el diámetro DTmax para condiciones favorables y desfavorables de distribución de dimensiones R – radios y D – barrenos, se puede definir el campo de tolerancia TDTmax.

Es fácil definir el valor de DTmax para condiciones favorables cuando no existen intersecciones de barrenos (ver Fig. 3) y los tornillos tendrán el diámetro Dmin (el menor de D1 y D2).

La tolerancia de diámetro del tornillo sujetador TDTmax en el caso especifico

(10)

Según la teoría de acotación funcional, la dimensión DTmax obtenida de la cadena dimensional del conjunto: bridas, barrenos y tornillo (ver Fig. 2), tiene la dirección de la dimensión resultante, esto significa que el valor de su tolerancia es igual a la sumatoria de las tolerancias de todas las dimensiones que forman la cadena (obviamente sin tomar en cuenta la tolerancia de la dimensión DT):

(11)

en donde:

Tqi

es la tolerancia de una dimensión “i” en la cadena dimensional que consta de “n” elementos (obviamente sin la tolerancia TDT ).

El valor de la tolerancia TDTmax se puede distribuir entre los eslabones (diámetros) de la cadena dimensional recordando la condición de intercambiabilidad total para conjuntos de elementos:

(12)

En la realidad del taller mecánico los valores de cada una de las dimensiones que forman la cadena dimensional se distribuyen de una manera aleatoria. Es fácil definir la distribución de la dimensión resultante DT al suponer que las distribuciones de las otras dimensiones siguen la ley de distribución normal. Basándose en los cálculos de la distribución de los valores dimensionales  para la dimensión resultante, que en estas condiciones también es una distribución normal, (la distribución de una variable aleatoria, que representa la sumatoria de otras distribuciones de variables aleatorias distribuidas según la ley de distribuciones normales es también una distribución normal) se puede calcular el porcentaje de casos en los que se logra un ensamble exitoso (el tornillo previsto sujeta adecuadamente las bridas). El ensamble se realiza con los elementos seleccionados al azar (con dimensiones distribuidas según la ley de distribuciones normales en el campo de sus tolerancias).

EJEMPLO DE APLICACIÓN   

Calcular la probabilidad de obtener un conjunto de dos bridas sujetadas con tornillos, tuercas y rondanas (la Fig. 4 muestra el diseño del conjunto), para las siguientes condiciones dimensionales  cuando la distribución de los valores dimensionales obedece la ley de la distribución normal (dimensiones en mm.):  

Fig.4 Ejemplo de sujeción con bridas con escalón

DT  =  12 ±0.05
R1R2 =  60 ± 0.5
D1 D2 =  12 +0.1
=0o 

Sustituyendo Δα = 0o en le ecuación (6), la ecuación resultante para la dimensión Des la siguiente:

(13 a)

La ecuación (13 a) es adecuada para la cadena que se muestra en la fig.5 (que es el caso mostrado en la  Fig. 2b para la condición de ∆α = 0o) en el que R2>R1. Obviamente es igualmente posible que R1>R2 y la ecuación resultante (13 a) toma la forma:

(13 b)

El signo (–) corresponde al caso en el que R2>R1  (Fig. 5a),  y el signo (+) corresponde al caso en el que: R1 > R2 (Fig. 5b).

Fig. 5 (a) Cadenas dimensionales posibles para =0o  (caso R2>R1)


Fig. 5(b)   Cadenas dimensionales posibles para =0o (caso R1>R2)

La ecuación para la tolerancia TDT  en el caso de las distribuciones normales es:

(14)

en la que:

qi

representan las dimensiones de la cadena dimensional excepto la dimensión de DTmax

En el caso del ejemplo qi lo forman elementos:

D1, D2, R1, R2.

Los valores de las derivadas son:

(15)

Y las tolerancias de las dimensiones qi : TD1=TD2  =  0.1,   TR1 =  TR2 =  1 .

Por lo que el valor de la tolerancia dimensional del lugar para el tornillo sujetador es: 

(16)

(17)

La ecuación (1) para la cadena dimensional de la Fig. 2, describe el caso en que siempre existen dos puntos de intersección entre los barrenos de referencia, es conveniente usarla para definir el comportamiento del agujero mínimo DT formado por los barrenos D1 y D2.

La definición del diámetro del agujero máximo, pertenece a los casos triviales y no debe obtenerse de la ecuación (1) ya que ésta se dedujo haciendo diferentes suposiciones. La observación directa de los casos triviales, lleva a la conclusión de que el diámetro DT del agujero máximo es igual al diámetro máximo de los barrenos D1 y D2 (cuando las dimensiones de estos barrenos son iguales) siempre y  cuando las dimensiones de R1 y R2 también sean iguales.

En el caso de que las dimensiones de los barrenos D1 y D2 sean diferentes, la dimensión máxima del agujero DT será igual al diámetro máximo del barreno menor.

La tolerancia del agujero DT se define haciendo uso tanto del caso trivial (valor máximo) como del caso de intersección (valor mínimo). Para el ejemplo del artículo esto significa que:

El valor máximo de DT es de 12.1 mm.

El valor mínimo de DT es de 11.342 mm.

(Observación: Para cálculos se supone que la distribución de la dimensión DT es normal, entonces, el valor mínimo de DT es igual al valor promedio de su distribución menos la mitad de la tolerancia calculada de la ecuación (14))

La coordenada del centro de la distribución del  DTmax es:

(18)

en la que:

pMi

representa valor promedio de los márgenes superior e inferior para la dimensión qi

Para los datos del ejemplo, el valor promedio del DTmax es:

Valor mínimo de la dimensión del  DT  tomando en cuenta las condiciones reales del ejemplo:

Valor mínimo  D  =   12.05  -  (1.416 / 2)    =  11.342 mm    

Los cálculos de tolerancia de la dimensión DT que ya toman en cuenta tanto el caso trivial (coincidencia de los barrenos D1 y D2) como el caso de la intersección de los barrenos, conducen al resultado del cual se puede calcular el parámetro de la desviación estándar σ.

Considerando (Jezierski, 2002) que se supone que toda la masa de probabilidad se encuentra dentro del rango de 6 σ

= (valor máximo del DT – valor mínimo del DT)/6  =  (12.1 – 11.342)/6  = 0.1263 mm.

Cuando todos los tornillos usados para unir las bridas tienen la dimensión exacta de 11.95 mm., los conjuntos aceptados son aquellos en los que los agujeros DT formados por las bridas sean mayores o iguales a 11.95 mm. Usando las tablas de distribución normal y la observación de que el campo de conjuntos aceptados se encuentra entre 3σ y el valor de (0.15/0.1263), se obtiene que la probabilidad de tener conjuntos aceptados correspondiente solo al 38% aproximadamente de todos los conjuntos posibles.

Sin embargo al considerar las dimensiones de tornillos reales, se tiene que calcular otra cadena dimensional de posible holgura entre el agujero DT y el tornillo real.

La condición del ensamble aceptado es cuando h 0 o sea

   DT   -   dT             0 

 La dimensión h (holgura) también tiene una distribución que se puede analizar, suponiendo que sigue siendo una distribución normal.

Usando el procedimiento presentado anteriormente, se calcula el porcentaje de conjuntos aceptados (los que tienen una holgura positiva).

Para los datos del ejemplo dados y calculados: DTmax   =   12+0.1 mm.,  DTmin  =  11.342 mm.  y  dT  =  12±0.05 mm. se obtiene los resultados siguientes:

Tolerancia de la holgura

Th  =  0.7646 mm.

Desviación estándar para distribución de la holgura.

  =  0.1274 mm.,

Coordenada del centro de distribución de holgura

  =  - 0.279 mm.,

Dimensión de holgura

h  =  - 0.279±0.3823 mm.    o sea:     

Los conjuntos aceptados, para los que la holgura no es negativa, se encuentran en el rango de 0 hasta + y corresponden a un 29% aprox. de toda la población de conjuntos. Todos los cálculos se realizaron bajo la suposición de que tanto para los datos como para los resultados se cuenta con las distribuciones de dimensiones que obedecen la forma de distribución normal. Es difícil garantizar el cumplimiento de esta condición en el caso de cadenas planas o espaciales, donde en los cálculos aparecen raíces de variables o funciones trigonométricas. La falta de cumplimiento de la suposición sobre la forma de distribución normal de los resultados obtenidos de cálculos en las cadenas de variables aleatorias puede conducir a errores significativos. Entonces, la manera más exacta hacer los cálculos para aplicar en este caso, se basaría en la simulación de la “realidad” usando alguno de los métodos de Monte Carlo. Uno de estos métodos se presenta en (Wu   1988)

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos representan una parte de las investigaciones sobre el tema importante de sujeción en bridas. Como se muestra en el artículo, la aplicación de las ecuaciones obtenidas de la acotación funcional especialmente enriquecidas con la realidad aleatoria puede formar una base sólida para la toma de decisiones relacionadas con la selección de tolerancias en casos específicos. Cada caso de diseño en bridas requiere un análisis especial. El procedimiento presentado en este artículo representa una posibilidad relativamente fácil de obtener buenos ensambles para conjuntos de bridas en casos reales de diseño y del taller de fabricación.

REFERENCIAS

Brusola S., E. Calandin, J. Baixauli, “Acotación funcional”, Tebas Flores, Madrid España, (1986)        [ Links ]

Cho N., J.F. Tu "Quantitative circularity tolerance analysis and design for 2D precision assemblies" Int. J. Machine Tools & Manufacture, 1391-1401, (2002)        [ Links ]

Donnarumma A., G. Giorleo "A contribution to the study of tolerancing technology" Int. J. Advanced Manufacturing Technology, 19: 291-294, (2002)        [ Links ]

Drake P.J., “Dimensioning and Tolerancing Handbook”, Mc Graw Hill, New York, NY, USA (1999)        [ Links ]

Henzold G.: “Handbook of Geometrical Tolerancing. Design, Manufacturing and Inspection”, John Willey&Sons, USA (1995)        [ Links ]

Jezierski J.,  “Acotación funcional y mediciones en construcción de  máquinas”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,Varsovia Polonia (2002)        [ Links ]

Jiménez P., “Acotación Funcional”, Limusa S.A. de C.V, México D.F. México (1985)        [ Links ]

Kang Y., Y. Rong, J.C. Yang "Computer-aided fixture design verification. part 2. Tolerance analysis", Int. J. Advanced Manufacturing Technology, 21: 836-841, (2003)        [ Links ]

Ngoi, B.K.A., L.E.N. Lim, A.S. Ong, B.H. Lim, "Applying the coordinate tolerance system to tolerance stack analysis involving position tolerance", Int. J. Advanced Manufacturing Technology, 15: 404-408, (1999)        [ Links ]

Poli C., “Design for Manufacturing a Structured Approach”, Butterworth-Heinemann, Boston Mass, USA (2001)        [ Links ]

Shan A., R.N. Roth, R.J. Wilson, “A new approach to Statistical Geometrical Tolerance Analysis”, Int. J. Advanced Manufacturing Technology, 15: 222-230, (1999)        [ Links ]