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Información tecnológica

versión On-line ISSN 0718-0764

Inf. tecnol. v.16 n.1 La Serena  2005

http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000100009 

 

Información Tecnológica-Vol. 16 N°1-2005, págs.: 61-68

MATERIALES

Capacidad Resistente a Flexión y Cortante de Vigas de Acero Mediante la Aplicación Mathcad

Flexure Resistance and Shear Capacity of Steel Beams using Mathcad.

R. Cedeño-Rosete* y J.C. Gatica-Galina
Univ. De las Américas-Puebla, Dpto. de Ingeniería Civil.
Sta. Catarina Mártir, 72820 Cholula, Puebla-México (e-mail: cedeno@mail.udlap.mx)

*autor a quien debe ser dirigida la correspondencia


Resumen

Se presenta la implementación de un programa de cómputo para determinar la capacidad resistente a flexión y cortante de perfiles de acero. La metodología se basa en el criterio de diseño Factores de Carga y Resistencia establecida en el reglamento del Instituto Americano de Construcción en Acero (AISC). Se generan hojas de cálculo en la aplicación Mathcad de fácil utilización. Se plantean dos ejemplos de vigas de acero obteniendo su capacidad resistente a flexión y cortante para cargas uniformes y concentradas y se comparan los resultados con las acciones últimas especificadas. El programa también cumple las funciones de diseño estructural permitiendo al usuario obtener el perfil más económico para la solución de un problema. La aplicación resulta ser un material de interés práctico profesional y de utilidad didáctica para cursos de diseño en acero.


Abstract

A computer program was developed to determine the flexure and shear resistance capacity of steel beams. The methodology was based on the Load Resistance Factor Design (LRFD) criteria of the American Institute of Steel Construction code (AISC). Easy to use working spreadsheets were developed using Mathcad. Two examples are solved for steel beams subjected to uniform and concentrated loads, comparing their flexural and shear resistance capacities under these loads. The program also fulfills structural design features allowing the user to obtain the most economic steel shape to solve a problem. The resultant application is of practical professional interest and also serves as additional teaching material in courses of steel design.

Keywords: steel beams, flexure capacity, shear, computer analysis, Mathcad


 

INTRODUCCIÓN

La obtención de la capacidad resistente de elementos estructurales de acero en flexión y cortante o bajo la combinación de otro tipo de acciones, requieren un esfuerzo numérico extraordinario. El proceso de diseño estructural de elementos es un proceso iterativo de revisión de la capacidad resistente de un perfil ante la solicitación especificada. Esto hace el trabajo numérico tedioso, y expuesto a una gran posibilidad de errores. Se hace indispensable la implementación de estos métodos utilizando algún tipo de programa de cómputo que optimice éste proceso. El desarrollo de programas de computadora orientado a favorecer el aprendizaje de cursos de ingeniería civil es cada vez más amplio (Oreta, 1999; Almeida et al., 2003).

Si bien existen muchos paquetes computacionales comerciales capaces de efectuar el análisis y diseño estructural, su uso está enfocado al sector productivo del diseño estructural y por lo tanto estos programas no permiten visualizar el proceso ni la metodología del diseño estructural.

Mathcad (marca registrada de MathSoft Engineering & Education, Inc.) es una herramienta ideal para resolver problemas de ingeniería con un enfoque didáctico. Una ventaja especial de este software es su capacidad de representación algebraica de las ecuaciones involucradas en la solución del problema junto con su valuación numérica. Esta característica hace a esta herramienta ideal para la solución de problemas de ingeniería que requieren ser presentadas en un reporte o memoria de cálculo, para coadyuvar a la comprensión del problema (Ansari y Senouci, 1999; Galambos, 2001).

El método consiste en obtener la capacidad resistente del perfil de acero propuesto de acuerdo al criterio de resistencia última y factores de carga especificados en el reglamento del Instituto Americano de Construcción en Acero (LRFD-AISC, 2003). Se introducen los datos del problema como longitud de la viga, cargas aplicadas y propiedades del acero. Se propone un perfil de acero cuyas propiedades geométricas se encuentran almacenadas en una hoja EXCEL. El presente trabajo considera sólo perfiles laminados W. Mediante el uso de funciones o subrutinas programadas y utilizando la capacidad gráfica del paquete, se obtienen y dibujan los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante del problema en cuestión.

Las ecuaciones que involucran la obtención de la capacidad resistente del perfil, se van planteando paso a paso junto con los resultados numéricos obtenidos. Conforme se va desarrollando cada sección del proceso necesario, se van presentando mensajes de texto que indican si los resultados obtenidos cumplen o no las especificaciones del código.  Finalmente si el resultado numérico indica que el perfil no es adecuado, se selecciona un nuevo perfil del componente EXCEL que contiene la base de datos de los perfiles disponibles en el mercado y automáticamente los resultados se actualizan utilizando las nuevas propiedades del perfil seleccionado. Esto permite que el programa pueda ser utilizado como una herramienta de diseño repitiendo este proceso que sólo requiere unos cuantos segundos.

Los resultados obtenidos al utilizar la aplicación indican que un estudiante puede revisar el procedimiento de diseño en forma ordenada, visualizando las ecuaciones involucradas no codificadas junto con sus resultados. Adicionalmente, el usuario puede concentrar su atención en el proceso y no en los cálculos numéricos.

 

METODOLOGÍA

Capacidad resistente a flexión

La resistencia a flexión de perfiles compactos es una función de la longitud no soportada conocida como Lb. Si ésta es menor que el parámetro Lp, se considera que la viga cuenta con un soporte lateral total y por lo tanto su capacidad resistente a flexión es el momento plástico Mp. Cuando la longitud del elemento es mayor a Lp la resistencia en flexión disminuye por efecto de pandeo lateral  inelástico o  pandeo lateral elástico. Si Lb es mayor que Lp pero menor o igual al parámetro Lr, se trata de un pandeo lateral torsional (PLT) inelástico. Cuando Lb es mayor que Lr la resistencia del perfil se basa en el pandeo lateral torsional elástico. La Figura 1 muestra la relación entre la longitud soportada Lb y el momento resistente Mn (Segui, 2000).

Los parámetros indicados en la figura se obtienen con las siguientes ecuaciones: Las longitudes Lp y Lr vienen dadas por:

 

                                                 (1)

     (2)

 

Fig. 1: Capacidad resistente a flexión.

 

y los términos  y  son:

                             (3)

                                (4)

donde:

ry = radio de giro mínimo

A= área de la sección

Cw = constante de alabeo

Fy = esfuerzo de fluencia

Fr = 10 ksi para perfiles rolados

Fr = 16.5 ksi para secciones soldadas

Z = módulo de sección plástico

Sx = módulo de sección elástico

Lb = longitud no soportada

E = módulo de elasticidad

G = módulo de cortante

Iy = momento de inercia menor

J = momento polar de inercia

Cw = constante de alabeo

El factor de gradiente de momentos Cb, que toma en cuenta la variación del momento flexionante a lo largo del elemento (Chen y Lui, 1991) se determina con la expresión:

 

 (5)

 

Mmax MA MB MC, son los momentos máximo, al cuarto, al centro, y a los tres cuartos del tramo Lb.

Los momentos plástico y de fluencia Mp y Mr vienen dados por las expresiones:

 

                                    (6)

                                          (7)

 

La capacidad resistente de un perfil para cada una de las tres zonas representadas en la Figura 1 (pandeo plástico, PLT inelástico, PLT elástico) se determina de la siguiente forma:

Pandeo plástico.

Si:                               (8)

PLT inelástico.

Si:    entonces:

   (9)

PLT elástico.

Si:    entonces:

 (10)

Los perfiles no compactos, debido a su geometría, se encuentran expuestos a sufrir una falla debida a pandeo lateral torsionante (PLT) y pandeo local del patín (PLP).

La capacidad resistente varía linealmente entre Mp y Mr en función de la esbeltez  de alma o patín. 

Entonces, si el perfil  es no compacto se deberá revisar adicionalmente, si el momento nominal obtenido con la siguiente expresión rige con respecto a los valores determinados con las ecuaciones (9) o (10) según sea el caso.

                  (11)

Los parámetros , r y p , a considerar para el patín y alma se indican en la Tabla 1.

Capacidad resistente al corte

En la mayoría de los casos, el esfuerzo cortante no es un problema en perfiles de acero. El cortante se vuelve crítico en secciones cercanas a grandes cargas concentradas, cerca de los apoyos, y cuando las vigas a estudiar, se encuentren despatinadas, debido al peralte reducido de la misma.

La capacidad resistente al corte de un perfil laminado se obtiene mediante las siguientes consideraciones:

Si:                                                           (12)

                                                 (13)

Cuando puede ocurrir pandeo inelástico del alma, se utiliza la expresión siguiente: Si,

                                         (14)

 

Tabla 1: Parámetros de esbeltez en perfiles no compactos.

Elemento

p

r

Patín

Alma

 

 

                  (15)

Cuando existe pandeo elástico del alma, Vn se obtiene de la siguiente forma: Si,

                                       (16)

                                   (17)

donde h es la altura del alma, tw el espesor del alma y Aw el área del alma.

Finalmente, el perfil resulta adecuado si se satisfacen las siguientes relaciones:

                                                        (18)

                                                         (19)

 

DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA

Se presentan dos ejemplos de aplicación para mostrar el método propuesto en este trabajo.

Ejemplo de aplicación 1

En la Figura 2 se muestra  una viga simple apoyada con el patín en compresión soportado lateralmente en los apoyos y bajo las cargas concentradas. El problema requiere que se revise si el perfil propuesto es adecuado en los tramos “a”, “b” y “c”.  Se presenta sólo el procedimiento para revisar el tramo “c”, puesto que la revisión de los otros segmentos es similar (Gatica-Galina, 2004). Se inicializan los datos del problema, como son las longitudes de la viga “a”, “b”, “c”, dimensiones y propiedades geométricas del perfil, cargas factorizadas, y propiedades del acero. Las cargas deben incluir los factores de carga especificados por el reglamento del AISC de acuerdo al tipo de solicitación, de tal forma que los cortantes y momentos resultantes serán valores últimos (Vu y Mu). El tipo de acero es A36 con un esfuerzo de fluencia de 36 ksi y el perfil seleccionado como primer intento es un perfil W14x030.

La Figura 3 muestra la forma en que se inicializan los datos de la viga en Mathcad. Una vez que el problema se ha programado, sólo es necesario modificar estos valores para resolver un problema diferente. El manejo de unidades es una de las características sobresalientes de ésta aplicación. La Figura 4 indica el uso de cajas de diálogo previamente inicializadas con valores. Al seleccionar un valor éste se asigna a la variable asociada. De esta forma, en las variables de texto “tipo” y “perfil” se almacenan los nombres del tipo de acero y nombre del perfil a utilizar, en este caso A36 y W14x030 respectivamente. La Tabla 2 muestra los tipos de acero que se pueden elegir en la variable “tipo”.

 

Fig. 2: Viga con cargas factorizadas uniforme y concentradas.

 

Fig. 3: Inicialización de variables en Mathcad.

 

Fig.4: Cajas de diálogo para la asignación de los valores de las variables.

 

Tabla 2: Valores de la variable “tipo”

Tipo de Acero

A36

A441-42

A242-42

A441-46

A242-46

A441-50

A242-50

A529

A441-40

 

 

La variable “perfil” almacena los nombres de los 278 diferentes perfiles W disponibles en el mercado (LRFD-AISC, 2003). Las propiedades para los diferentes tipos de acero y para los perfiles W se encuentran almacenados en hojas EXCEL. Mathcad permite la inserción de componentes de cualquier programa definido en el ambiente Windows. La Figura 5 muestra un componente EXCEL insertado en la hoja de trabajo.

La variable “perfil” (W14x030) se pasa a la hoja de cálculo, y ésta devuelve los valores de las propiedades geométricas de la sección en las variables definidas en el componente como w, d, bf, y tf. Si se requiere recalcular el problema con los datos de un perfil W diferente, sólo se necesita seleccionar su nombre en la variable “perfil” mostrada en la Figura 4 para que la hoja se actualice con los datos de la nueva sección.

 

Fig. 5: Ejemplo de inserción de un programa EXCEL en Mathcad.

 

El uso de este componente evita el tener que inicializar los once datos geométricos de un perfil cada vez que se desea revisar uno nuevo. Para una adecuada presentación didáctica de este problema, se requiere determinar y graficar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. Mathcad permite la programación de funciones en una forma similar a la de cualquier lenguaje de programación, con la ventaja de que las expresiones a programar no requieren codificarse, simplemente se escriben en forma tradicional.

La Figura 6 muestra las expresiones para determinar las reacciones de la viga y las funciones para la determinación de la fuerza cortante y del momento flexionante.  La técnica se basa en el uso de funciones de singularidad F, que forman parte de la librería interna de Mathcad. La gráfica de la fuerza cortante se muestra en la Figura 7. La Figura 8 presenta en forma más clara, el procedimiento de programación sumamente sencillo que caracteriza a Mathcad. Una vez que una variable fue previamente inicializada o definida, se puede usar en el cálculo de cualquier otra nueva variable. 

Para visualizar cualquier resultado se teclea la variable seguida del símbolo “=” en cualquier lugar a la derecha o debajo de su definición. En la Figura 9 se aprecia la revisión de la esbeltez del alma del perfil y el uso de variables de texto para enriquecer la presentación con mensajes explicativos de los resultados parciales.

La Figura 10 plantea la determinación de la variable Cb haciendo uso de la función M(x) mostrada en la Figura 6. En la Figura 11, se muestra la determinación del momento nominal resistente programando una función que depende de la longitud no soportada Lb.

 

Fig. 6: Funciones de cortante y momento.

 

Fig. 7: Diagrama de fuerza cortante

 

Fig. 8: Obtención de Mp y Mr.

 

En la Figura 12 se pueden ver la conclusión de la capacidad resistente por flexión en el tramo en estudio. La revisión para los otros dos tramos se realiza en forma similar.

Finalmente, en las Figuras 13 y 14 se aprecia la programación necesaria para hacer la revisión del perfil por cortante. Si la sección no es adecuada para soportar las cargas, se elige un nuevo perfil (más pesado o más ligero según sea el caso) en la variable “perfil” y se tienen de inmediato los resultados de la revisión. Realizando éste procedimiento algunas veces el programa se convierte en una herramienta de diseño.

Fig. 9: Revisión de esbeltez del alma.

 

Fig. 10: Determinación de Lp, Lr y Cb.

 

Fig. 11: Función para la obtención del momento nominal Mn.

 

Fig. 12: Momento resistente Mr.

 

Fig. 13: Función para la obtención del cortante nominal resistente Vn.

 

Ejemplo de aplicación 2

Una segunda hoja de trabajo se generó a partir de la primera para resolver el problema mostrado en la Figura 15.

 

Fig. 14: Revisión por cortante.

 

Fig. 15: Viga en voladizo.

 

Pocos cambios se requieren realizar para resolver este problema. Básicamente es el replanteamiento de las reacciones de la viga y de las funciones para determinar los diagramas de cortante y momento. Estos cambios se muestran en la Figura 16. En éste caso, sólo se requiere revisar dos tramos de la viga.

 

Fig. 16: Funciones para determinar diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en viga en voladizo.

 

CONCLUSIONES

A partir de los resultados obtenidos, se plantean las siguientes conclusiones:

El programa ahorra mucho tiempo en el cálculo de la capacidad cortante y flectora de vigas de acero. El uso de este paquete no requiere conocimientos de programación.

Se puede seguir el procedimiento de revisión puesto que las ecuaciones necesarias no están codificadas.

El programa se convierte en una herramienta de diseño pues permite seleccionar perfiles diferentes. También ahorra tiempo en el análisis de alternativas pues, con poco esfuerzo adicional, se puede modificar la hoja de cálculo desarrollada para resolver diferentes problemas.

Con el desarrollo de esta herramienta computación, un estudiante puede concentrarse en el proceso de revisión de perfiles de acero por flexión y cortante sin realizar los cálculos numéricos involucrados.

 

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Universidad de las Américas Puebla, el apoyo y las facilidades otorgadas para la realización de este artículo

 

REFERENCIAS

Almeida, S.F., R. Piezzalunga, y V.G. Ribeiro, A Web-Based 2D Structural Análisis Educational Software, Computer Applications in Eng. Education: 11 (2), 83-92 (2003).        [ Links ]

Ansari, M.S. y B. Senouci, Use of Mathcad as a teaching and Learning Tool for Reinforced Concrete Design of Footings, Computer Applications in Engineering Education: 7 (3), 146-154 (1999).        [ Links ]

Chen, W.F. y E.M. Lui, Stability Design of Steel Frames. CRC Press Boca Ratón, USA (1991).        [ Links ]

Galambos, T.V., Strength of Singly Symmetric I-Shaped Beam-Columns, Engineering Journal-American Institute of Steel Construction Inc: 38 (2), 65-77 (2001).        [ Links ]

Gatica-Galina, J.C., Serie de Problemas resueltos de Obtención de Capacidad Resistente de Miembros de Acero Estructural por el Método LRFD Utilizando la Aplicación Mathcad Professional 2001, Tesis de Licenciatura, Depto. de Ing. Civil, Universidad de las Américas-Puebla, Puebla, Méx. (2004)        [ Links ]

LRFD-AISC Manual of Steel Construcción Load & Resistance Factor Design, 3rd Edition. American Institute of Steel Construcción, Inc. Chicago, USA. (2003).        [ Links ]

Oreta, A.W., Developing a Web-Based Learning Module in a Basic Civl Engineering Course, Computer Applications in Engineering Education: 7 (4), 235-243 (1999).        [ Links ]

Segui, T.W., Diseño de Estructuras de Acero con LRFD, 2ª edición. Internacional Thomson Editors, México (2000).        [ Links ]